A iluminação e os motores de uma pequena fábrica, alimentada em 220 \mathrm{~V} / 60 \mathrm{~Hz}, estabelecem uma demanda de potência igual a ( 30 ) kVA com um FP atrasado de 0,80 . Determine o valor do capacitor que deve ser colocado em paralelo com a carga para elevar o FP para 0,95 atrasado.
Alternativas:
(A) 0,001 \mu \mathrm{~F} \leq C \leq 100,000 \mu \mathrm{~F}
(B) 100,001 \mu \mathrm{~F} \leq C \leq 200,000 \mu \mathrm{~F}
(C) 200,001 \mu \mathrm{~F} \leq C \leq 300,000 \mu \mathrm{~F}
(D) 300,001 \mu \mathrm{~F} \leq C \leq 400,000 \mu \mathrm{~F}
(E) C \geq 400,001 \mu \mathrm{~F}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados:
  • Tensão da rede: \;V=220\\ \mathrm{V}.
  • Frequência: \;f=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Potência aparente da carga: \;S=30\\ \mathrm{kVA}=30000\\ \mathrm{VA}.
  • Fator de potência inicial (atrasado): \;\mathrm{FP}_1=0,80.
  • Fator de potência desejado (atrasado): \;\mathrm{FP}_2=0,95.
Pedido:
  • Determinar o valor do capacitor que deve ser colocado em paralelo com a carga para elevar o fator de potência de 0,80 para 0,95.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (sem ainda calcular):
  • Potência ativa: \;P = S\cos\varphi, onde \cos\varphi é o fator de potência.
  • Potência reativa (indutiva quando positiva): \;Q = S\sin\varphi.
  • Relação entre \;P e \;Q: \;\tan\varphi = Q/P, logo \;Q = P\tan\varphi.
  • Potência reativa fornecida por um capacitor conectado à tensão eficaz \;V é dada por \;Q_C = \omega C V^2, onde \;\omega = 2\pi f e \;C é a capacitância. Dessa fórmula segue \;C = \dfrac{Q_C}{\omega V^2}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com os números do problema.

Passo 3

Calcular a potência ativa P da carga (ela permanece a mesma antes e depois da correção).
Usamos \;P = S\cos\varphi_1 com \cos\varphi_1=0,80.
P = 30000 \times 0,80
P = 24000\\ \mathrm{W}.
Explicação curta: P é a potência real que efetivamente é consumida pela fábrica; o capacitor não muda P, apenas reduz a componente reativa.

Passo 4

Calcular a potência reativa inicial \;Q_1 (indutiva) usando \;Q_1 = S\sin\varphi_1.
Primeiro note que \;\sin\varphi_1 = \sqrt{1-\cos^2\varphi_1} = \sqrt{1-0,8^2} = \sqrt{1-0,64} = 0,6.
Q_1 = 30000 \times 0,6
Q_1 = 18000\\ \mathrm{VAR}.
Comentário: esse é o valor reativo que hoje é fornecido pela rede (positivo porque é indutivo).

Passo 5

Calcular a potência reativa desejada após a correção \;Q_2 compatível com \mathrm{FP}_2=0,95.
Usamos \;Q_2 = P\tan\varphi_2 com \cos\varphi_2=0,95.
Calcule \sin\varphi_2 e \tan\varphi_2:
\sin\varphi_2 = \sqrt{1-0,95^2} = \sqrt{1-0,9025} = \sqrt{0,0975} = 0,312249899\ldots
\tan\varphi_2 = \frac{\sin\varphi_2}{\cos\varphi_2} = \frac{0,312249899}{0,95} = 0,328684105\ldots
Agora
Q_2 = P \tan\varphi_2 = 24000 \times 0,328684105\ldots
Q_2 \approx 7888,4065\\ \mathrm{VAR}.
Interpretação: após colocar o capacitor, a componente reativa que ainda precisa ser suprida pela rede (indutiva) será \;Q_2.

Passo 6

Determinar a potência reativa que o capacitor deve fornecer \;Q_C.
Como inicialmente a reativa era \;Q_1 e queremos reduzir para \;Q_2, o capacitor deve fornecer a diferença (capacitiva):
Q_C = Q_1 - Q_2 = 18000 - 7888,4065
Q_C \approx 10111,5935\\ \mathrm{VAR}.
Observação: aqui Q_C é o módulo da potência reativa capacitiva (valor positivo para cálculo de C).

Passo 7

Relacionar Q_C com a capacitância C usando a fórmula do capacitor:
\;Q_C = \omega C V^2, com \;\omega = 2\pi f.
Isolando C temos:
C = \frac{Q_C}{\omega V^2}.
Vamos agora substituir os valores numéricos.

Passo 8

Calcular \omega e o denominador \omega V^2.
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 60 = 120\pi\\ \mathrm{rad/s} \approx 376,9911184\\ \mathrm{rad/s}.
V^2 = 220^2 = 48400\\ \mathrm{V}^2.
\omega V^2 \approx 376,9911184 \times 48400 \approx 18246370,13056.
Agora calcular C:
C = \frac{Q_C}{\omega V^2} = \frac{10111,5935}{18246370,13056}
C \approx 0,000554094\\ \mathrm{F}.
Converter para microfarads ( 1\\ \mathrm{F}=10^{6}\\ \mu\mathrm{F}):
C \approx 0,000554094\times 10^{6} = 554,094\\ \mu\mathrm{F}.
Arredondando de forma prática para a escolha de um capacitor comercial: aproximadamente \;554\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 9

Comparar com as alternativas fornecidas:
  • O valor encontrado \;C\approx 554\\ \mu\mathrm{F} está dentro do intervalo \;0,001\\ \mu\mathrm{F} \le C \le 100{,}000\\ \mu\mathrm{F}, que corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A)

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