Um sistema trifásico equilibrado em estrela apresenta tensão de linha de 440 V . Calcule a tensão de fase e descreva como ela se distribui entre os enrolamentos do gerador.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Dado: um sistema trifásico equilibrado em ligação estrela (Y) com tensão de linha igual a 440\\ \mathrm{V}.
  • Pedido 1: calcular a tensão de fase (ou seja, a tensão entre cada terminal de fase e o neutro).
  • Pedido 2: descrever como essa tensão de fase se distribui entre os enrolamentos do gerador (o que cada enrolamento “vê”, e como isso se relaciona com as tensões de linha).

Passo 2

Vamos esclarecer o que significa “tensão de linha” e “tensão de fase” no contexto de uma ligação estrela.
  • Em ligação estrela, cada enrolamento do gerador tem uma extremidade ligada a um ponto comum chamado neutro e a outra extremidade ligada a um terminal de fase (chamados geralmente de a, b, c). A tensão entre um terminal de fase e o neutro é a chamada tensão de fase; vou denotar por V_{ph} (ou V_{LN}, line-to-neutral).
  • A tensão de linha é a tensão entre dois terminais de fase quaisquer (por exemplo entre a e b). Denoto por V_{LL} (line-to-line). No enunciado, foi dada V_{LL}=440\\ \mathrm{V}.
  • Em regime senoidal equilibrado, as tensões de fase formam três fasores de mesma magnitude V_{ph} e separados por 120^\circ.
Não vamos resolver ainda; só organizei as grandezas para não se perder.

Passo 3

Agora vamos obter a relação entre tensão de linha e tensão de fase usando a representação fasorial (vetorial) — essa é a peça teórica que você precisa entender para aplicar rápido na prova.
  • Tome os fasores das tensões de fase (line-to-neutral) como:
V_a = V_{ph}\angle 0^\circ,\qquad V_b = V_{ph}\angle -120^\circ,\qquad V_c = V_{ph}\angle +120^\circ.
  • A tensão de linha entre a e b é a diferença dos fasores de fase:
V_{ab} = V_a - V_b.
  • Substituindo:
V_{ab} = V_{ph}\left(1 - e^{-j120^\circ}\right).
Agora calculamos o módulo de 1 - e^{-j120^\circ}. Use Euler: e^{-j120^\circ}=\cos120^\circ - j\sin120^\circ = -\tfrac{1}{2} - j\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
1 - e^{-j120^\circ} = 1 -\left(-\tfrac{1}{2} - j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \tfrac{3}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
O módulo disso é
\left|\,\tfrac{3}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right| = \sqrt{\left(\tfrac{3}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}}=\sqrt{\tfrac{12}{4}}=\sqrt{3}.
  • Portanto o módulo da tensão de linha é
|V_{ab}| = V_{ph}\,\sqrt{3}.
Essa demonstração mostra a relação fundamental em estrela equilibrada:
V_{LL} = \sqrt{3}\,V_{ph}.
Também é útil saber que o fasor V_{ab} tem um ângulo +30^\circ em relação a V_a (ou seja, a tensão de linha “antecede” a tensão de fase correspondente em 30^\circ), mas para o cálculo de magnitudes só precisamos da relação com \sqrt{3}.

Passo 4

Agora use a relação para calcular numericamente a tensão de fase:
  • Como V_{LL}=440\\ \mathrm{V} e V_{LL}=\sqrt{3}\,V_{ph}, então
V_{ph}=\frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}=\frac{440}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}.
  • Fazendo a conta (aproximação com \sqrt{3}\approx1{,}732):
V_{ph}\approx\frac{440}{1{,}732}\approx254{,}0\\ \mathrm{V}.
Então cada enrolamento do gerador tem cerca de 254{,}0\\ \mathrm{V} entre sua extremidade de fase e o neutro.

Passo 5

Descrevendo a distribuição dessa tensão entre os enrolamentos do gerador (modo didático, para decorar e entender na prova):
  • O gerador tem três enrolamentos idênticos com um ponto comum (neutro). Cada enrolamento tem em suas extremidades a tensão de fase V_{ph} (entre sua extremidade de fase e o neutro). Numericamente, cada enrolamento “vê” aproximadamente \,254{,}0\\ \mathrm{V}.
  • As três tensões de fase são defasadas entre si de 120^\circ. Isso significa que, se você desenhar os três fasores de duração 254{,}0\\ \mathrm{V}, eles estarão igualmente espaçados no plano fasorial.
  • As tensões de linha (por exemplo V_{ab}) surgem como diferença entre duas tensões de fase vizinhas e têm magnitude \sqrt{3} vezes maior (aqui 440\\ \mathrm{V}). Além disso, cada tensão de linha está defasada 30^\circ em relação à tensão de fase “líder” correspondente (por exemplo V_{ab} está a +30^\circ de V_a).
  • Conclusão prática: em ligação estrela equilibrada, para obter a tensão que cada enrolamento precisa suportar, divida a tensão de linha por \sqrt{3}. Se o neutro estiver disponível, a tensão de fase está presente entre cada terminal e o neutro; se o neutro não for acessível, internamente cada enrolamento ainda tem essa tensão entre suas extremidades.

Resposta

Tensão de fase: \displaystyle V_{ph}=\frac{440}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}\approx254{,}0\\ \mathrm{V}.\nDistribuição entre enrolamentos: cada um dos três enrolamentos em estrela tem V_{ph} entre sua extremidade de fase e o neutro (tres fasores de 254{,}0\\ \mathrm{V} defasados de 120^\circ); as tensões de linha entre terminais são diferenças desses fasores e valem \sqrt{3}\,V_{ph}=440\\ \mathrm{V}, defasadas 30^\circ relative às tensões de fase.

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