Em um sistema trifásico simétrico e equilibrado \Delta - \Delta, as tensão e a corrente em uma das fases da carga são dadas respectivamente por \hat{V}_{A B}=\left|V_{A B}\right| \angle 40^{\circ}\left[V_{e f}\right] e \hat{I}_{A B}=4 \angle 15^{\circ}\left[I_{e f}\right]. Sabendo-se que a potência média (ativa) total dissipada na carga trifásica é igual a 1400 W , determine a impedância em cada ramo da carga.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (tudo retirado diretamente do texto do problema):
  • A tensão em uma fase da carga (delta) é \hat{V}_{A B}=\left|V_{A B}\right|\angle 40^\circ [ \mathrm{V}_{ef}].
  • A corrente nessa mesma fase é \hat{I}_{A B}=4\angle 15^\circ [ \mathrm{I}_{ef}].
  • A potência média (ativa) total dissipada na carga trifásica equilibrada é P_{\text{total}}=1400\\ \mathrm{W}.
  • O sistema e a carga são trifásicos simétricos e equilibrados em conexão \Delta- \Delta.
O que se pede:
  • Determinar a impedância em cada ramo da carga (ou seja, a impedância de um dos ramos do triângulo \Delta).

Passo 2

Vamos recordar e explicar as fórmulas que vamos usar (com calma, passo a passo).
  1. Complexo de potência por fase (definição com fasores):
\hat{S}_{\text{fase}}=\hat{V}_{\text{fase}}\;\hat{I}_{\text{fase}}^{*},
onde:
  • \hat{V}_{\text{fase}} é o fasor da tensão na fase (aqui \hat{V}_{A B});
  • \hat{I}_{\text{fase}} é o fasor da corrente na fase (aqui \hat{I}_{A B});
  • o asterisco ^{*} significa conjugado complexo.
  1. A potência ativa (média) por fase é a parte real de \hat{S}_{\text{fase}}:
P_{\text{fase}}=\Re\{\hat{S}_{\text{fase}}\} = \left|V_{\text{fase}}\right|\left|I_{\text{fase}}\right|\cos\varphi,
onde \varphi é a diferença de fase entre tensão e corrente:
\varphi=\angle\hat{V}_{\text{fase}}-\angle\hat{I}_{\text{fase}}.
  1. Em sistema trifásico simétrico e equilibrado, a potência ativa total é três vezes a potência por fase:
P_{\text{total}}=3\,P_{\text{fase}}.
  1. A impedância em cada ramo da carga (em fasor) é a razão:
\hat{Z}_{\text{fase}}=\frac{\hat{V}_{\text{fase}}}{\hat{I}_{\text{fase}}}.
Ao dividir fasores, a magnitude divide e os ângulos subtraem:
\left|\hat{Z}_{\text{fase}}\right|=\frac{\left|V_{\text{fase}}\right|}{\left|I_{\text{fase}}\right|},\qquad \angle\hat{Z}_{\text{fase}}=\angle\hat{V}_{\text{fase}}-\angle\hat{I}_{\text{fase}}.
Essas são as ferramentas essenciais. Próximo passo: aplicar tudo isso aos números do enunciado.

Passo 3

Calcular a diferença de ângulo entre tensão e corrente, que aparece no cosseno da potência por fase:
\varphi=\angle\hat{V}_{A B}-\angle\hat{I}_{A B}=40^\circ-15^\circ=25^\circ.
Explicação curta: \varphi é o “desfasamento” entre a tensão aplicada ao ramo e a corrente que passa por ele; ele determina a parte ativa da potência via \cos\varphi.

Passo 4

Usar a relação da potência total para encontrar a magnitude da tensão de fase \left|V_{A B}\right|. Da fórmula
P_{\text{total}}=3\left|V_{\text{fase}}\right|\left|I_{\text{fase}}\right|\cos\varphi,
isolamos \left|V_{\text{fase}}\right|:
\left|V_{A B}\right|=\frac{P_{\text{total}}}{3\left|I_{A B}\right|\cos\varphi}.
Agora substituímos os valores conhecidos: P_{\text{total}}=1400\\ \mathrm{W}, \left|I_{A B}\right|=4\\ \mathrm{A}, \varphi=25^\circ. Portanto
\left|V_{A B}\right|=\frac{1400}{3\cdot 4\cdot \cos 25^\circ}.
Calculemos numericamente (mostrar contas):
\cos 25^\circ \approx 0{,}906307787,
3\cdot 4\cdot \cos 25^\circ \approx 12\cdot 0{,}906307787 \approx 10{,}87569344,
\left|V_{A B}\right|\approx \frac{1400}{10{,}87569344}\approx 128{,}70\\ \mathrm{V}.
Interpretação: cada ramo do delta está submetido a uma tensão de aproximadamente 128{,}70\\ \mathrm{V} (lembre que em delta a tensão de fase da carga é a tensão de linha V_{LL}).

Passo 5

Agora calculamos a impedância por ramo usando a divisão de fasores:
\hat{Z}_{A B}=\frac{\hat{V}_{A B}}{\hat{I}_{A B}}=\frac{\left|V_{A B}\right|\angle 40^\circ}{4\angle 15^\circ}.
Usando as regras de divisão de fasores:
\left|\hat{Z}_{A B}\right|=\frac{128{,}70}{4}=32{,}1755\\ \Omega,
\angle\hat{Z}_{A B}=40^\circ-15^\circ=25^\circ.
Portanto, em forma fasorial polar:
\hat{Z}_{A B}\approx 32{,}18\angle 25^\circ\\ \Omega.

Passo 6

Converter para a forma retangular (resistência R e reatância X) para interpretação física. Usamos
R=\left|\hat{Z}\right|\cos 25^\circ,\qquad X=\left|\hat{Z}\right|\sin 25^\circ.
Cálculos:
R\approx 32{,}1755\cdot\cos 25^\circ \approx 32{,}1755\cdot 0{,}906307787 \approx 29{,}17\\ \Omega,
X\approx 32{,}1755\cdot\sin 25^\circ \approx 32{,}1755\cdot 0{,}422618262 \approx 13{,}58\\ \Omega.
Assim:
\hat{Z}_{A B}\approx 29{,}17 + j\,13{,}58\\ \Omega.
Interpretação: o ângulo positivo ( +25^\circ) e X>0 indicam que a reatância é indutiva (ou seja, o ramo tem comportamento dominante indutivo).

Resposta

\hat{Z}_{A B}\approx 32{,}18\angle 25^\circ\\ \Omega
\hat{Z}_{A B}\approx 29{,}17 + j\,13{,}58\\ \Omega

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