Considere um circuito \mathrm{Y}-\Delta (Fonte em Y e carga em \Delta ). As tensões da fonte ligada em Y são \hat{V}_{A}=\frac{208}{\sqrt{3}} \angle-30^{\circ}\left[V_{e f}\right], \hat{V}_{B}=\frac{208}{\sqrt{3}} \angle-150^{\circ}\left[V_{e f}\right] e \hat{V}_{C}=\frac{208}{\sqrt{3}} \angle 90^{\circ}\left[V_{e f}\right]. A carga em \Delta é equilibrada. A impedância de cada fase é Z=12 \Omega. Determine os fasores das correntes de fase na carga e de linha. Calcule a potência média (ativa) total dissipada na carga.

Passo 1

O que o enunciado dá (lis­tado das informações relevantes):
  • Tensões fase (ligadas em Y), fornecidas como fasores:
    • \hat{V}_{A}=\dfrac{208}{\sqrt{3}}\angle -30^\circ\\ [\mathrm{V_{ef}}]
    • \hat{V}_{B}=\dfrac{208}{\sqrt{3}}\angle -150^\circ\\ [\mathrm{V_{ef}}]
    • \hat{V}_{C}=\dfrac{208}{\sqrt{3}}\angle 90^\circ\\ [\mathrm{V_{ef}}]
  • A carga é ligada em \Delta e é equilibrada: cada fase da carga tem impedância Z = 12\\ \Omega (resistiva).
  • O enunciado pede:
    1. Os fasores das correntes de fase na carga (correntes nas ramos \Delta: I_{AB}, I_{BC}, I_{CA}).
    2. Os fasores das correntes de linha (correntes fornecidas pela fonte): I_A, I_B, I_C.
    3. A potência média (ativa) total dissipada na carga.

Passo 2

Primeiras observações e conversões numéricas úteis (eu vou transformar as tensões para valores numéricos fáceis):
  • Calcular o valor numérico de \dfrac{208}{\sqrt{3}}. \dfrac{208}{\sqrt{3}} \approx 120\\ \text{V}.Então podemos escrever, numericamente: \hat{V}_A=120\angle -30^\circ\\ \text{V},\qquad \hat{V}_B=120\angle -150^\circ\\ \text{V},\qquad \hat{V}_C=120\angle 90^\circ\\ \text{V}.
  • Conceito importante (sem pular passos): numa carga em \Delta cada ramo “vê” uma tensão igual à tensão linha-a-linha correspondente. Por exemplo, a tensão no ramo AB é \hat{V}_{AB}=\hat{V}_A-\hat{V}_B,onde \hat{V}_A,\hat{V}_B são as tensões de fase da fonte (fase para neutro). O mesmo vale para \hat{V}_{BC}=\hat{V}_B-\hat{V}_C e \hat{V}_{CA}=\hat{V}_C-\hat{V}_A.
  • A corrente em cada ramo do \Delta é a tensão do ramo dividida pela impedância do ramo: \hat{I}_{\text{ramo}}=\dfrac{\hat{V}_{\text{ramo}}}{Z}.
  • A corrente de linha (corrente que sai da fonte na fase A) é a soma algébrica das correntes que entram/saem no nó A do triângulo; uma expressão conveniente é \hat{I}_A=\hat{I}_{AB}-\hat{I}_{CA},e ciclos semelhantes para I_B e I_C. Vou usar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular as tensões linha-a-linha (tensões nos ramos \Delta). Vou fazer as subtrações de fasores usando resultados conhecidos para esse conjunto balanceado (mas mostrando as contas):
Converter em forma retangular (opcional, mas claro):
\hat{V}_A=120\angle -30^\circ = 120(\cos(-30^\circ)+j\sin(-30^\circ))=103{,}92 - j60{,}0\\ \text{V},
\hat{V}_B=120\angle -150^\circ = 120(\cos(-150^\circ)+j\sin(-150^\circ))=-103{,}92 - j60{,}0\\ \text{V},
\hat{V}_C=120\angle 90^\circ = 0 + j120\\ \text{V}.
Agora subtrair para obter tensões dos ramos:
\hat{V}_{AB}=\hat{V}_A-\hat{V}_B=(103{,}92 - j60)-(-103{,}92 - j60)=207{,}84 + j0 \approx 208\angle 0^\circ\\ \text{V}.
\hat{V}_{BC}=\hat{V}_B-\hat{V}_C=(-103{,}92 - j60)-(0 + j120)=-103{,}92 - j180 \approx 208\angle -120^\circ\\ \text{V}.
\hat{V}_{CA}=\hat{V}_C-\hat{V}_A=(0 + j120)-(103{,}92 - j60)=-103{,}92 + j180 \approx 208\angle 120^\circ\\ \text{V}.
Observação intuitiva: as tensões de ramo são magnitude 208\\ \text{V} e defasadas de 120^\circ entre si — isto é o esperado: V_{LL}=208\\ \text{V}.

Passo 4

Calcular as correntes de fase na carga (correntes nos ramos \Delta):
  • Para o ramo AB: \hat{I}_{AB}=\dfrac{\hat{V}_{AB}}{Z}=\dfrac{208\angle 0^\circ}{12}=\dfrac{208}{12}\angle 0^\circ \approx 17{,}333\angle 0^\circ\\ \text{A}.
  • Para o ramo BC: \hat{I}_{BC}=\dfrac{\hat{V}_{BC}}{Z}=\dfrac{208\angle -120^\circ}{12}\approx 17{,}333\angle -120^\circ\\ \text{A}.
  • Para o ramo CA: \hat{I}_{CA}=\dfrac{\hat{V}_{CA}}{Z}=\dfrac{208\angle 120^\circ}{12}\approx 17{,}333\angle 120^\circ\\ \text{A}.
Comentário didático: como Z é puramente resistiva, a corrente de cada ramo está em fase com a respectiva tensão de ramo (ângulo igual).

Passo 5

Calcular as correntes de linha I_A,I_B,I_C. Usando as relações (definidas no passo 2):
\hat{I}_A=\hat{I}_{AB}-\hat{I}_{CA}.
Substituindo os valores:
\hat{I}_A=17{,}333\angle 0^\circ - 17{,}333\angle 120^\circ.
Fazendo a subtração (ou usando a identidade complexa): 1 - e^{j120^\circ}=1.5 - j0{,}8660 cuja magnitude é \sqrt{3} e ângulo -30^\circ. Assim
\hat{I}_A=17{,}333\big(1 - e^{j120^\circ}\big)=17{,}333\sqrt{3}\angle -30^\circ \approx 30{,}0\angle -30^\circ\\ \text{A}.
Analogamente,
\hat{I}_B=\hat{I}_{BC}-\hat{I}_{AB}=17{,}333\angle -120^\circ - 17{,}333\angle 0^\circ \approx 30{,}0\angle -150^\circ\\ \text{A},
\hat{I}_C=\hat{I}_{CA}-\hat{I}_{BC}=17{,}333\angle 120^\circ - 17{,}333\angle -120^\circ \approx 30{,}0\angle 90^\circ\\ \text{A}.
Breve explicação: no caso balanceado com impedâncias puramente resistivas no \Delta, a magnitude da corrente de linha é \sqrt{3} vezes a corrente de ramo do \Delta, e há um deslocamento angular de -30^\circ entre a corrente de linha correspondente e a corrente do ramo adjacente (essa é a identidade clássica do \Delta-Y para correntes).

Passo 6

Calcular a potência média ativa total dissipada na carga.
  • Potência dissipada por ramo (resistivo) é P_{\text{ramo}}=\dfrac{|\hat{V}_{\text{ramo}}|^2}{R}=\dfrac{208^2}{12}\\ \text{W}.Calculando: \dfrac{208^2}{12}=\dfrac{43264}{12}\approx 3605{,}33\\ \text{W} \quad(\text{por ramo}).
  • Como são 3 ramos idênticos: P_{\text{total}}=3\cdot P_{\text{ramo}}=3\cdot 3605{,}33 \approx 10816\\ \text{W}\approx 10{,}816\\ \text{kW}.
Outra forma (compacta) de ver: P_{\text{total}}=3\cdot \dfrac{V_{LL}^2}{R}, porque V_{LL}=208\\ \text{V} e R=12\\ \Omega.

Resposta

\hat{I}_{AB}=17{,}333\angle 0^\circ\\ \text{A}
\hat{I}_{BC}=17{,}333\angle -120^\circ\\ \text{A}
\hat{I}_{CA}=17{,}333\angle 120^\circ\\ \text{A}
\hat{I}_A=30{,}0\angle -30^\circ\\ \text{A}
\hat{I}_B=30{,}0\angle -150^\circ\\ \text{A}
\hat{I}_C=30{,}0\angle 90^\circ\\ \text{A}
P_{\text{ativa total}} \approx 10816\\ \text{W} \\ ( \approx 10{,}816\\ \text{kW} )

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