UM SISTEMA TRIFÁSICO TEM UMA TENSÃO DE FASE VAN =240 \mathrm{V} E ÂNGULO 0^{\circ} LIGADO EM Y, SEQUÊNCIA VAB, VBC e VCA, COM UMA CARGA EQUILIBRADA DE IMPEDÂNCIA Z = 20 \Omega E ÂNGULO 38^{\circ}. PEDE-SE:
A) AS CORRENTES DE FASE NA FORMA ALGÉBRICA;
B) AS CORRENTES DE LINHA NA FORMA ALGÉBRICA;
C) A POTÊNCIA ATIVA TRIFÁSICA;
D) A POTÊNCIA REATIVA TRIFÁSICA;
E) A POTÊNCIA APARENTE TOTAL NA FORMA ALGÉBRICA.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Tensão de fase (fase para neutro) \,V_{AN}=240\\ \mathrm{V}\angle 0^\circ\,.
    • Sequência de fases é V_{AB},\,V_{BC},\,V_{CA} (sequência positiva).
    • Carga equilibrada, ligada em estrela (Y), com impedância por fase \,Z=20\\ \Omega\angle 38^\circ\,.
  • Perguntas:
    A) Correntes de fase na forma algébrica (ou seja, em forma complexa retangular).
    B) Correntes de linha na forma algébrica.
    C) Potência ativa trifásica total P_{tot}.
    D) Potência reativa trifásica total Q_{tot}.
    E) Potência aparente total na forma algébrica S_{tot}.

Passo 2

Entendendo as tensões de fase por causa da sequência positiva.
  • Para sequência positiva (ordem A\to B\to C) as tensões de fase relativas ao neutro são: V_{a} = V_{AN} = 240\angle 0^\circ\\ \mathrm{V},
V_{b} = 240\angle -120^\circ\\ \mathrm{V},
V_{c} = 240\angle +120^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Explicação curta: sequência V_{AB},V_{BC},V_{CA} indica que V_b está atrasada de 120^\circ em relação a V_a, e V_c avançada de 120^\circ (ou atrasada de -120^\circ no outro sentido). Isso é o padrão para sequência positiva.

Passo 3

Lei de Ohm em forma fasorial e como dividir fasores (revisão prática).
  • Lei de Ohm fasorial para cada fase: \,I_{phase} = \dfrac{V_{phase}}{Z}\,.
  • Regra prática para divisão de fasores em forma polar: dividir as magnitudes e subtrair os ângulos: \dfrac{M_1\angle\theta_1}{M_2\angle\theta_2}= \dfrac{M_1}{M_2}\angle(\theta_1-\theta_2).
  • Depois, para obter a forma algébrica (retangular) usamos: M\angle\theta = M(\cos\theta + j\sin\theta).
  • Aqui M é a magnitude (valor eficaz em V ou A), \theta é o ângulo em graus, j é a unidade imaginária.

Passo 4

Cálculo da corrente de fase I_a.
  • Magnitude da corrente por fase: |I|=\dfrac{|V_{phase}|}{|Z|}=\dfrac{240}{20}=12\\ \mathrm{A}.
  • Ângulo de I_a: \angle I_a = \angle V_a - \angle Z = 0^\circ - 38^\circ = -38^\circ.
  • Portanto em forma polar: I_a = 12\angle -38^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Converter para forma algébrica (retangular). Usamos \cos 38^\circ\approx 0{,}7880108 e \sin 38^\circ\approx 0{,}6156615: I_a = 12(\cos(-38^\circ)+j\sin(-38^\circ))=12(0{,}7880108 - j0{,}6156615).
I_a \approx 9{,}456 - j7{,}388\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Cálculo da corrente de fase I_b.
  • Em polar: I_b=\dfrac{240\angle -120^\circ}{20\angle 38^\circ}=12\angle(-120^\circ-38^\circ)=12\angle -158^\circ.
  • Converter para retangular. Usamos \cos 158^\circ\approx -0{,}9271839 e \sin 158^\circ\approx 0{,}3746066. Como o ângulo é -158^\circ, \cos(-158^\circ)=\cos158^\circ e \sin(-158^\circ)=-\sin158^\circ. I_b = 12(-0{,}9271839 - j0{,}3746066) \approx -11{,}126 - j4{,}495\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Cálculo da corrente de fase I_c.
  • Em polar: I_c=\dfrac{240\angle 120^\circ}{20\angle 38^\circ}=12\angle(120^\circ-38^\circ)=12\angle 82^\circ.
  • Converter para retangular. Usamos \cos 82^\circ\approx 0{,}1391731 e \sin 82^\circ\approx 0{,}9902681: I_c = 12(0{,}1391731 + j0{,}9902681) \approx 1{,}670 + j11{,}883\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Observação sobre correntes de linha (resposta do item B).
  • Para conexão em Y equilibrada, a corrente de linha é igual à corrente de fase: I_{linha\,a}=I_a,\quad I_{linha\,b}=I_b,\quad I_{linha\,c}=I_c.
  • Portanto as correntes de linha são exatamente as calculadas nos passos anteriores.

Passo 8

Fórmulas para potência trifásica equilibrada e interpretação.
  • Potência ativa total ( P_{tot}): soma das potências ativas de cada fase. P_{tot}=3\cdot V_{fase}\cdot I_{fase}\cdot\cos\varphi,onde \varphi é o ângulo da impedância ( \varphi=38^\circ) e V_{fase} e I_{fase} são valores eficazes.
  • Alternativamente, usando V_{fase}^2/|Z|: P_{tot}=3\cdot\frac{V_{fase}^2}{|Z|}\cos\varphi.
  • Potência reativa total ( Q_{tot}): Q_{tot}=3\cdot V_{fase}\cdot I_{fase}\cdot\sin\varphi = 3\cdot\frac{V_{fase}^2}{|Z|}\sin\varphi.
  • Potência aparente total complexa: S_{tot}=P_{tot}+jQ_{tot}=3\cdot V_{fase}\cdot I_{fase}\angle 0^\circ\quad(\text{em forma retangular }P+jQ).

Passo 9

Cálculo numérico de P_{tot} e Q_{tot}.
  • Primeiro calcule \dfrac{V_{fase}^2}{|Z|}=\dfrac{240^2}{20}=\dfrac{57600}{20}=2880.
  • Usando \cos 38^\circ\approx 0{,}7880108 e \sin 38^\circ\approx 0{,}6156615: P_{fase}=2880\cdot\cos 38^\circ \approx 2880\cdot 0{,}7880108 \approx 2269{,}471
P_{tot}=3\cdot P_{fase}\approx 3\cdot 2269{,}471 \approx 6808{,}413\\ \mathrm{W}.
Q_{fase}=2880\cdot\sin 38^\circ \approx 2880\cdot 0{,}6156615 \approx 1773{,}105
Q_{tot}=3\cdot Q_{fase}\approx 3\cdot 1773{,}105 \approx 5319{,}315\\ \mathrm{VAR}.

Passo 10

Potência aparente total na forma algébrica (S = P + jQ).
  • Juntando os resultados: S_{tot}=P_{tot}+jQ_{tot}\approx 6808{,}413 + j\,5319{,}315\\ \mathrm{VA}.
  • Em notação arredondada conveniente: S_{tot}\approx 6808{,}41 + j\,5319{,}32\\ \mathrm{VA}.

Resposta

A) I_a \approx 12\angle -38^\circ = 9{,}456 - j7{,}388\\ \mathrm{A}
I_b \approx 12\angle -158^\circ = -11{,}126 - j4{,}495\\ \mathrm{A}
I_c \approx 12\angle 82^\circ = 1{,}670 + j11{,}883\\ \mathrm{A}
B) I_{linha,a}=I_a,\; I_{linha,b}=I_b,\; I_{linha,c}=I_c (mesmos valores do item A)
C) P_{tot}\approx 6808{,}41\\ \mathrm{W}
D) Q_{tot}\approx 5319{,}32\\ \mathrm{VAR}
E) S_{tot}\approx 6808{,}41 + j\,5319{,}32\\ \mathrm{VA}

Exercícios relacionados