B.5.3 Considere o sistema de malha fechada dado por:
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \zeta \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}}
Determine os valores de \zeta e de \omega_{n} de modo que o sistema responda a uma entrada em degrau com aproximadamente 5 \% de sobressinal e com um tempo de acomodação de 2 segundos. (Utilize o critério de 2 \%.)

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha fechada de um sistema de segunda ordem
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}
e pede \zeta e \omega_{n} tais que a resposta ao degrau tenha aproximadamente 5 % de sobressinal e tempo de acomodação de 2 s (critério de 2 %). Para isso, vamos usar as fórmulas padrão de resposta de sistemas de segunda ordem.

Passo 2

A relação entre sobressinal máximo M_{p} e fator de amortecimento \zeta é
M_{p}=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}\approx 0{,}05.
Tomando logaritmo:
-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\ln(0{,}05)\approx -2{,}9957 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=2{,}9957.
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\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\frac{2{,}9957}{\pi}\approx 0{,}9530 \;\;\Longrightarrow\;\; \zeta^{2}=0{,}4761 \;\;\Longrightarrow\;\; \zeta\approx 0{,}69.

Passo 3

O tempo de acomodação para 2 % é dado por
T_{s}\approx \frac{4}{\zeta\,\omega_{n}} \quad\text{e queremos }T_{s}=2\text{ s}.
Então
\frac{4}{\zeta\,\omega_{n}}=2 \quad\Longrightarrow\quad \omega_{n}=\frac{4}{2\,\zeta}=\frac{2}{\zeta} \approx\frac{2}{0{,}69}\approx 2{,}90\text{ rad/s}.

Resposta

\zeta \approx 0{,}69,\quad \omega_{n} \approx 2{,}90\text{ rad/s}.

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