B.5.10 Utilizando o MATLAB, obtenha a resposta ao degrau unitário, à rampa unitária e ao impulso unitário do seguinte sistema:
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{10}{s^{2}+2 s+10}
onde R(s) e C(s) são as transformadas de Laplace da entrada r(t) e da saída c(t), respectivamente.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de segunda ordem causal com função de transferência
H(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{10}{s^{2}+2s+10}
e pede as respostas ao impulso unitário r(t)=\delta(t), ao degrau unitário r(t)=u(t) e à rampa unitária r(t)=t\,u(t).
Para cada caso, vamos montar C(s)=H(s)\,R(s) e aplicar a transformada inversa de Laplace, usando frações parciais e identificando termos da forma
(s+1)\bigl/\bigl((s+1)^{2}+3^{2}\bigr) \quad\text{e}\quad 1\big/\bigl((s+1)^{2}+3^{2}\bigr).

Passo 2

Resposta ao impulso unitário: aqui R(s)=1, então
C(s)=\frac{10}{s^{2}+2s+10} =\frac{10}{(s+1)^{2}+3^{2}}.
Como
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{(s+1)^{2}+3^{2}}\Bigr\} =\frac{1}{3}e^{-t}\sin(3t),
temos
c_{\delta}(t) =10\cdot\frac{1}{3}e^{-t}\sin(3t) =\frac{10}{3}e^{-t}\sin(3t),\quad t\ge0.

Passo 3

Resposta ao degrau unitário: R(s)=1/s, logo
C(s)=\frac{10}{s\,(s^{2}+2s+10)}
e decompomos em frações parciais
\frac{10}{s(s^{2}+2s+10)} =\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+2s+10}.
Calculando coeficientes obtemos A=1, B=-1, C=-2. Assim
C(s) =\frac{1}{s} -\frac{s+1}{(s+1)^{2}+3^{2}} -\frac{1}{(s+1)^{2}+3^{2}}.
Invertendo cada termo:
\mathcal L^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1,\quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{s+1}{(s+1)^{2}+3^{2}}\Bigr\}=e^{-t}\cos(3t), \quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{(s+1)^{2}+3^{2}}\Bigr\}=\frac{1}{3}e^{-t}\sin(3t).
Logo
c_{u}(t) =1 - e^{-t}\cos(3t) - \frac{1}{3}e^{-t}\sin(3t),\quad t\ge0.

Passo 4

Resposta à rampa unitária: R(s)=1/s^{2}, logo
C(s)=\frac{10}{s^{2}(s^{2}+2s+10)}
e decompomos
\frac{10}{s^{2}(s^{2}+2s+10)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{Cs+D}{s^{2}+2s+10}.
Resolvend o sistema achamos
A=-\tfrac{1}{5},\;B=1,\;C=\tfrac{1}{5},\;D=-\tfrac{3}{5}.
Reescrevendo
C(s) =-\frac{1/5}{s}+\frac{1}{s^{2}} +\frac{\tfrac{1}{5}(s+1)-\tfrac{4}{5}}{(s+1)^{2}+3^{2}}.
Separando termos e invertendo:
\mathcal L^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1,\; \mathcal L^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}}\}=t,\; \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{s+1}{(s+1)^{2}+3^{2}}\Bigr\}=e^{-t}\cos(3t),\; \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{(s+1)^{2}+3^{2}}\Bigr\}=\frac{1}{3}e^{-t}\sin(3t).
Portanto
c_{t}(t) =t - \frac{1}{5} +\frac{1}{5}e^{-t}\cos(3t) -\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{3}e^{-t}\sin(3t)
\quad =t - \frac{1}{5} +\frac{1}{5}e^{-t}\cos(3t) -\frac{4}{15}e^{-t}\sin(3t),\quad t\ge0.

Resposta

Impulso unitário:
c_{\delta}(t)=\frac{10}{3}e^{-t}\sin(3t),\;t\ge0.
Degrau unitário:
c_{u}(t)=1 - e^{-t}\cos(3t) - \tfrac{1}{3}e^{-t}\sin(3t),\;t\ge0.
Rampa unitária:
c_{t}(t)=t - \tfrac{1}{5} +\tfrac{1}{5}e^{-t}\cos(3t) -\tfrac{4}{15}e^{-t}\sin(3t),\;t\ge0.

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