B.5.5 Obtenha a resposta ao impulso unitário e a resposta ao degrau unitário de um sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja:
G(s)=\frac{2 s+1}{s^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha aberta
G(s)=\frac{2s+1}{s^2}
com realimentação unitária. Queremos achar
  1. a resposta ao impulso unitário h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{T(s)\},
  2. a resposta ao degrau unitário y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{T(s)}{s}\},
    onde T(s) é a função de transferência em malha fechada. Para isso, usaremos álgebra de funções de transferência, frações parciais e tabelas de transformada inversa de Laplace.

Passo 2

Em malha fechada com realimentação unitária,
T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)} =\frac{\frac{2s+1}{s^2}}{1+\frac{2s+1}{s^2}} =\frac{2s+1}{s^2+2s+1} =\frac{2s+1}{(s+1)^2}.

Passo 3

Para obter h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{T(s)\}, escrevemos
\frac{2s+1}{(s+1)^2} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{(s+1)^2}.
Multiplicando por (s+1)^2 e igualando coeficientes em s e termo constante, vem
2s+1 = A(s+1)+B \implies A=2,\;A+B=1\implies B=-1.
Logo
T(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^2} \quad\Longrightarrow\quad h(t)=2e^{-t}-t\,e^{-t} \quad(t\ge0).

Passo 4

Para a resposta ao degrau, multiplicamos T(s) por 1/s:
Y(s)=\frac{T(s)}{s} =\frac{2s+1}{s\,(s+1)^2} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^2}.
Igualando
2s+1 = A\,(s+1)^2 + B\,s\,(s+1)+C\,s
e comparando coeficientes, obtém-se
A=1,\;B=-1,\;C=1.
Portanto
Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}+\frac{1}{(s+1)^2} \quad\Longrightarrow\quad y(t)=1 - e^{-t} + t\,e^{-t} \quad(t\ge0).

Resposta

h(t)=(2 - t)\,e^{-t}\,u(t) y(t)=\bigl(1 - e^{-t} + t\,e^{-t}\bigr)\,u(t)

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