Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), explique quais dos sistemas são invariantes no tempo e quais são variantes no tempo.
y(t)=\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá o sistema com entrada x(t) e saída
y(t) = \Bigl(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Bigr)^{2}
e pede para verificar se esse sistema é invariante no tempo. O conteúdo necessário é a definição de invariância no tempo: ao deslocar a entrada no tempo, a saída deslocada deve coincidir com o deslocamento da saída original.

Passo 2

Definimos a entrada deslocada em t_{0} como
\tilde x(t) = x(t - t_{0}).
Queremos achar a saída correspondente \tilde y(t).

Passo 3

Calculamos a saída da entrada deslocada:
\tilde y(t) = \Bigl(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\tilde x(t)\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,x(t - t_{0})\Bigr)^{2} = \bigl(x'(t - t_{0})\bigr)^{2},
onde x'(u)=\mathrm{d}x/\mathrm{d}u.

Passo 4

A saída original deslocada em t_{0} é
y(t - t_{0}) = \bigl(x'(t - t_{0})\bigr)^{2}.
Como \tilde y(t)=y(t - t_{0}), o sistema satisfaz a condição de invariância no tempo.

Resposta

O sistema é invariante no tempo.

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