Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), explique quais dos sistemas são invariantes no tempo e quais são variantes no tempo.
y(t)=\int_{-5}^{5} x(\tau) \mathrm{d} \tau

Passo 1

O enunciado dá o sistema
y(t)=\int_{-5}^{5}x(\tau)\,\mathrm{d}\tau
e pede para verificar se ele é invariante no tempo. O conteúdo aqui é “invariância temporal”, que se testa comparando a saída obtida ao deslocar a entrada com a saída deslocada do sistema original.

Passo 2

Aplique um deslocamento t_0 na entrada, isto é, considere x_1(t)=x(t - t_0). A saída desse novo sinal pelo sistema é
y_1(t) = \int_{-5}^{5} x_1(\tau)\,\mathrm{d}\tau = \int_{-5}^{5} x(\tau - t_0)\,\mathrm{d}\tau.
Fazendo a mudança de variável u = \tau - t_0, obtemos
y_1(t) = \int_{-5 - t_0}^{\,5 - t_0} x(u)\,\mathrm{d}u.

Passo 3

Agora calcule a saída original deslocada em t_0, ou seja,
y(t - t_0) = \int_{-5}^{5} x(\tau)\,\mathrm{d}\tau.
Note que essa expressão independe de t e, em particular, independe de t_0.

Passo 4

Compare y_1(t) e y(t - t_0):
y_1(t) = \int_{-5 - t_0}^{\,5 - t_0} x(u)\,\mathrm{d}u \quad\neq\quad y(t - t_0) = \int_{-5}^{5} x(\tau)\,\mathrm{d}\tau
em geral, pois os limites de integração em y_1 dependem de t_0 enquanto os de y(t - t_0) são fixos. Logo o sistema não satisfaz a condição de invariância temporal.

Resposta

O sistema
y(t)=\int_{-5}^{5}x(\tau)\,\mathrm{d}\tau
é variante no tempo.

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