Sistemas elétricos podem ter aplicações distintas e conectar diversos tipos de cargas em paralelo. As cargas podem variar de puramente resistivas, mistas a puramente capacitivas ou indutivas. Cada uma delas será representada por sua potência e pelo seu Fator de Potencia (FP). Para diversas atuações como em gerenciamento de energia, é necessária a ánalise de equivalência final pelo gerador que alimentara essas cargas. Considere um sistema elétrico ficticio com gerador trifasico equilibrado e tensão de linha de 12,5 \mathrm{kVrms} que conecta paralelamente as seguintes cargas:
Cargas Descrição
Carga 1 30 kVA e FP = 0,8
Carga 2 25 kVA e FP = 1,0
Carga 3 25 kVA e FP = 0,6
Carga 4 10 kVAr , puramente indutiva
Analisando as cargas apresentadas, calcule os valores de corrente de linha FP equivalente vistos pelo gerador.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a corrente de linha e o fator de potência equivalente vistos pelo gerador trifásico. Dados fornecidos (todos em paralelo, tensão de linha do gerador =12,5\\ \mathrm{kVrms}):
\begin{array}{ll} \text{Carga 1:} & 30\\ \mathrm{kVA},\\ \text{FP}=0{,}8 \\\ \text{Carga 2:} & 25\\ \mathrm{kVA},\\ \text{FP}=1{,}0 \\\ \text{Carga 3:} & 25\\ \mathrm{kVA},\\ \text{FP}=0{,}6 \\\ \text{Carga 4:} & 10\\ \mathrm{kVAr}\\ (\text{puramente indutiva}) \end{array}
Observação importante (assunção explícita): quando o enunciado dá um fator de potência sem indicar se é adiantado ou atrasado, é usual assumir que é atrasado (indutivo). Portanto vou assumir que as cargas com \text{FP}=0{,}8 e \text{FP}=0{,}6 são indutivas (ou seja, geram reativos positivos, Q>0). A carga 4 já é dita puramente indutiva ( +10\\ \mathrm{kVAr}). A pergunta final é: qual a corrente de linha vista pelo gerador e qual o fator de potência equivalente?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática):
  • Potência aparente de uma carga monofásica ou trifásica isolada é |S| em VA (ou kVA). A potência complexa escreve-se
S = P + jQ,
onde P é a potência ativa (em W ou kW) e Q é a potência reativa (em VAr ou kVAr). Para cargas indutivas Q>0.
  • O fator de potência é definido por
\text{FP} = \cos\varphi = \frac{P}{|S|},
onde \varphi é o ângulo entre tensão e corrente. A partir daí
Q = |S|\,\sin\varphi, \qquad \sin\varphi = \sqrt{1-\cos^2\varphi}.
  • Para um sistema trifásico equilibrado, a relação entre potência aparente total e corrente de linha é
|S_{\text{total}}| = \sqrt{3}\,V_{\text{LL,rms}}\,I_{\text{linha,rms}}.
Assim a corrente de linha é
I_{\text{linha}} = \frac{|S_{\text{total}}|}{\sqrt{3}\,V_{\text{LL,rms}}}.
Vou calcular P e Q de cada carga, somar para obter P_{\text{total}} e Q_{\text{total}}, obter |S_{\text{total}}| e então I_{\text{linha}} e o FP equivalente \text{FP}_{\text{eq}}=P_{\text{total}}/|S_{\text{total}}|.

Passo 3

Calcular P e Q de cada carga (manter unidades em kW e kVAr para somar facilmente).
Carga 1: |S_1|=30\\ \mathrm{kVA}, \text{FP}_1=0{,}8.
P_1 = |S_1|\cdot\text{FP}_1 = 30\cdot 0{,}8 = 24\\ \mathrm{kW}.
\sin\varphi_1 = \sqrt{1-0{,}8^2} = \sqrt{1-0{,}64} = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6.
Q_1 = |S_1|\cdot\sin\varphi_1 = 30\cdot 0{,}6 = 18\\ \mathrm{kVAr}.
Carga 2: |S_2|=25\\ \mathrm{kVA}, \text{FP}_2=1{,}0 (pura resistência).
P_2 = 25\cdot 1{,}0 = 25\\ \mathrm{kW},\qquad Q_2 = 0\\ \mathrm{kVAr}.
Carga 3: |S_3|=25\\ \mathrm{kVA}, \text{FP}_3=0{,}6.
P_3 = 25\cdot 0{,}6 = 15\\ \mathrm{kW}.
\sin\varphi_3 = \sqrt{1-0{,}6^2} = \sqrt{1-0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8.
Q_3 = 25\cdot 0{,}8 = 20\\ \mathrm{kVAr}.
Carga 4: puramente indutiva Q_4 = 10\\ \mathrm{kVAr}, P_4 = 0\\ \mathrm{kW}.

Passo 4

Somar potências para obter potência total complexa:
P_{\text{total}} = P_1+P_2+P_3+P_4_{(P)} = 24+25+15+0 = 64\\ \mathrm{kW}.
Q_{\text{total}} = Q_1+Q_2+Q_3+Q_4 = 18+0+20+10 = 48\\ \mathrm{kVAr}.
Logo a potência complexa total é
S_{\text{total}} = 64 + j\,48\\ \mathrm{kVA}.

Passo 5

Calcular a magnitude da potência aparente total e o fator de potência equivalente:
|S_{\text{total}}| = \sqrt{64^2 + 48^2}\\ \mathrm{kVA} = \sqrt{4096 + 2304}\\ \mathrm{kVA} = \sqrt{6400}\\ \mathrm{kVA} = 80\\ \mathrm{kVA}.
O fator de potência equivalente é
\text{FP}_{\text{eq}} = \frac{P_{\text{total}}}{|S_{\text{total}}|} = \frac{64}{80} = 0{,}8.
Como Q_{\text{total}}>0, esse FP é atrasado (indutivo).

Passo 6

Calcular a corrente de linha vista pelo gerador. Primeiro converter |S_{\text{total}}| para VA e a tensão para V:
|S_{\text{total}}| = 80\\ \mathrm{kVA} = 80\,000\\ \mathrm{VA}, \qquad V_{\text{LL,rms}} = 12{,}5\\ \mathrm{kV} = 12\,500\\ \mathrm{V}.
Usando
I_{\text{linha}} = \frac{|S_{\text{total}}|}{\sqrt{3}\,V_{\text{LL,rms}}},
temos
I_{\text{linha}} = \frac{80\,000}{\sqrt{3}\cdot 12\,500}.
Calculemos numericamente:
\sqrt{3}\cdot 12\,500 \approx 1{,}73205\cdot 12\,500 \approx 21\,650{,}8
I_{\text{linha}} \approx \frac{80\,000}{21\,650{,}8} \approx 3{,}6955\\ \mathrm{A}.
Arredondando adequadamente, I_{\text{linha}}\approx 3{,}696\\ \mathrm{A}.

Resposta

I_{\text{linha}} = 3{,}696\\ \mathrm{A}
\text{FP}_{\text{eq}} = 0{,}8 (atrasado)

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