Os sistemas representados pelas relações de saída e entrada abaixo são lineares?
Passo 1
O enunciado pergunta se o sistema definido pela relação de entrada e saída abaixo é linear:
Informações dadas:
- A variável de tempo é
. - A entrada é a função
. - A saída é a função
dada por . - A pergunta é única: “o sistema é linear?” (responda sim ou não e justifique).
Passo 2
Definição de linearidade (explicação didática):
- Um sistema representado por um operador
é linear se, para quaisquer sinais de entrada e e quaisquer escalares (constantes) e , valer a propriedade de superposição:
- Aqui:
significa “aplicar o sistema à função dentro das chaves”. Os escalares e podem ser números reais (ou complexos, dependendo do contexto). - A propriedade acima engloba duas propriedades menores: homogeneidade (escalares podem sair) e aditividade (soma de entradas vira soma das saídas). Se ambas valem, o sistema é linear.
Passo 3
Identificar o operador
correspondente ao sistema dado:
Agora aplicamos a definição de linearidade passo a passo. Pegamos dois sinais quaisquer
e
e dois escalares
e
, e calculamos o lado esquerdo da propriedade de superposição:
Desenvolvendo a multiplicação por
(distributividade):
Reescrevendo cada termo como a aplicação do operador
sobre
e
:
Portanto obtemos exatamente a igualdade exigida:
Como isso vale para quaisquer
, o sistema satisfaz a propriedade de superposição e, logo, é linear.
Passo 4
Exemplo numérico para fixar (bem concreto):
- Escolho
, , e . - Calculo a entrada combinada:
. - Aplico
: . - Agora calculo
. - Os resultados coincidem, ilustrando que a propriedade funciona em um caso concreto — e a conta acima mostrou a identidade algébrica geral.
Passo 5
Comentário adicional útil para prova (não pedido, mas importante para você entender a diferença entre conceitos):
- Embora o sistema seja linear, ele não é invariante no tempo. Para ver isso, compare:
com
Essas duas expressões não coincidem em geral (o fator multiplicativo é diferente), portanto o sistema falha na propriedade de invariância temporal. Isso é só para você não confundir “linear” com “linear e invariante no tempo (LTI)”.
Resposta
Sim — o sistema é linear.