Os sistemas representados pelas relações de saída e entrada abaixo são lineares?
y[n]=2 x[n]+3
y[n]=2 x[n]+3
Passo 1
O enunciado dá a relação entre entrada e saída
e pergunta explicitamente: “Os sistemas representados por essa relação são lineares?”
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Pergunta a responder: determinar se o sistema definido por essa equação é linear ou não e justificar passo a passo.
Passo 2
O que significa um sistema ser linear? Vou te explicar com calma. Chamamos de sistema a uma operação
que associa a cada entrada
uma saída
. O sistema é linear se satisfaz a propriedade de superposição, que engloba duas coisas juntas:
Uma forma compacta: para quaisquer sinais
e escalares
,
Um teste muito prático que a gente usa: se o sistema for linear, ele deve mandar o sinal nulo para o sinal nulo, isto é,
Isso vem direto da homogeneidade com
.
Passo 3
Vamos aplicar o teste do sinal nulo ao sistema dado. Tome a entrada
para todo
. Substituindo na equação do sistema:
Portanto o sistema produz a saída constante
quando a entrada é zero. Mas, como expliquei antes, um sistema linear deveria produzir
para entrada zero. Como aqui
, isso já é suficiente para concluir que o sistema não é linear.
Passo 4
Para reforçar (e para você saber como argumentar num exame), vamos checar a aditividade explicitamente com sinais gerais
e
. Calcule a saída para a soma das entradas:
Agora calcule a soma das saídas individuais:
Comparando, vemos que
porque um lado tem
e o outro tem
. Logo a aditividade falha — outro sinal claro de não linearidade.
Passo 5
Também podemos checar a homogeneidade (escala). Tome um escalar
qualquer e a entrada
. Então
enquanto
Para esses dois serem iguais para todo
e todo
seria necessário
, ou seja
. Como isso não vale para todo
, a homogeneidade falha também.
Passo 6
Resumo didático para a prova: a constante “+3” é a culpada. Um sistema linear não pode ter um termo independente da entrada (um offset constante), porque isso quebra a propriedade de que a combinação linear das entradas deva gerar a mesma combinação linear das saídas. Se você ver um termo constante no lado da saída, já acende o sinal vermelho.
Resposta
Não, o sistema
não é linear.