Os sistemas representados pelas relações de saída e entrada abaixo são lineares?
y[n]=2 x[n]+3

Passo 1

O enunciado dá a relação entre entrada e saída
y[n]=2\,x[n]+3
e pergunta explicitamente: “Os sistemas representados por essa relação são lineares?”
Informações relevantes fornecidas:
\text{entrada: }x[n],\qquad \text{saída: }y[n]=2\,x[n]+3.í
Pergunta a responder: determinar se o sistema definido por essa equação é linear ou não e justificar passo a passo.

Passo 2

O que significa um sistema ser linear? Vou te explicar com calma. Chamamos de sistema a uma operação S que associa a cada entrada x[n] uma saída y[n]=S\{x[n]\}. O sistema é linear se satisfaz a propriedade de superposição, que engloba duas coisas juntas:
\text{(aditividade)}\quad S\{x_1[n]+x_2[n]\}=S\{x_1[n]\}+S\{x_2[n]\},
\text{(homogeneidade/escala)}\quad S\{a\,x[n]\}=a\,S\{x[n]\}\quad\text{para todo escalar }a.
Uma forma compacta: para quaisquer sinais x_1[n],x_2[n] e escalares a,b,
S\{a\,x_1[n]+b\,x_2[n]\}=a\,S\{x_1[n]\}+b\,S\{x_2[n]\}.
Um teste muito prático que a gente usa: se o sistema for linear, ele deve mandar o sinal nulo para o sinal nulo, isto é,
S\{0\}=0.
Isso vem direto da homogeneidade com a=0.

Passo 3

Vamos aplicar o teste do sinal nulo ao sistema dado. Tome a entrada x[n]=0 para todo n. Substituindo na equação do sistema:
y[n]=2\cdot 0 + 3 = 3.
Portanto o sistema produz a saída constante y[n]=3 quando a entrada é zero. Mas, como expliquei antes, um sistema linear deveria produzir y[n]=0 para entrada zero. Como aqui S\{0\}=3\neq 0, isso já é suficiente para concluir que o sistema não é linear.

Passo 4

Para reforçar (e para você saber como argumentar num exame), vamos checar a aditividade explicitamente com sinais gerais x_1[n] e x_2[n]. Calcule a saída para a soma das entradas:
S\{x_1[n]+x_2[n]\}=2\big(x_1[n]+x_2[n]\big)+3=2x_1[n]+2x_2[n]+3.
Agora calcule a soma das saídas individuais:
S\{x_1[n]\}+S\{x_2[n]\}=\big(2x_1[n]+3\big)+\big(2x_2[n]+3\big)=2x_1[n]+2x_2[n]+6.
Comparando, vemos que
S\{x_1[n]+x_2[n]\}\neq S\{x_1[n]\}+S\{x_2[n]\}
porque um lado tem +3 e o outro tem +6. Logo a aditividade falha — outro sinal claro de não linearidade.

Passo 5

Também podemos checar a homogeneidade (escala). Tome um escalar a qualquer e a entrada x[n]. Então
S\{a\,x[n]\}=2\big(a\,x[n]\big)+3=2a\,x[n]+3,
enquanto
a\,S\{x[n]\}=a\big(2x[n]+3\big)=2a\,x[n]+3a.
Para esses dois serem iguais para todo x[n] e todo a seria necessário 3=3a, ou seja a=1. Como isso não vale para todo a, a homogeneidade falha também.

Passo 6

Resumo didático para a prova: a constante “+3” é a culpada. Um sistema linear não pode ter um termo independente da entrada (um offset constante), porque isso quebra a propriedade de que a combinação linear das entradas deva gerar a mesma combinação linear das saídas. Se você ver um termo constante no lado da saída, já acende o sinal vermelho.

Resposta

Não, o sistema y[n]=2\,x[n]+3 não é linear.

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