Desenhe o Diagrama de Bode assintótico das seguintes funções de transferência:
(f) \frac{s+10}{s\left(s^{2}+14.14 s+100\right)}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Dada a função de transferência
H(s)=\frac{s+10}{s\left(s^{2}+14{,}14\,s+100\right)}.
  • Pedido: desenhar o diagrama de Bode assintótico (magnitude e fase) de H(s).
  • Informações relevantes extraídas diretamente do enunciado (a função acima):
    • Existe um zero real em s=-10.
    • Existe um pólo simples em s=0 (integrador).
    • Existe um par de polos complexos dados por s^{2}+14{,}14\,s+100.

Passo 2

Fatoração e identificação de frequências características (ensino rápido sobre segunda ordem).
  • Para entender o par de polos, escrevemos o polinômio no formato padrão de uma segunda ordem:
s^{2}+14{,}14\,s+100 = s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}.
  • Comparando coeficientes, obtemos
\omega_n=10,\qquad 2\zeta\omega_n=14{,}14 \Rightarrow \zeta=\frac{14{,}14}{2\cdot10}=0{,}707.
  • Interpretação (rápida aula):
    • \omega_n é a frequência natural (em rad/s) da dupla de polos: aqui \omega_n=10.
    • \zeta é o fator de amortecimento: \zeta=0{,}707 é o valor de um Butterworth de 2ª ordem — não provoca pico grande, mas tem resposta de fase notável.
  • Resumo de polos/zeros e suas frequências de canto:
    • Zero em \omega_z=10 rad/s.
    • Par de polos conjugados com \omega_n=10 rad/s e \zeta=0{,}707.
    • Pólo em origem (integrador) com efeito em todas as frequências (ponto de canto efetivo em \omega=0).

Passo 3

Regras básicas de Bode assintótico que usaremos (mini-aula):
  • Cada pólo simples (real) adiciona uma inclinação de -20\\ \text{dB/dec} a partir de sua frequência de canto.
  • Cada zero simples (real) adiciona +20\\ \text{dB/dec} a partir de sua frequência de canto.
  • Um par de polos conjugados (segunda ordem) adiciona -40\\ \text{dB/dec} a partir da sua frequência natural \omega_n (na assíntota).
  • Um integrador ( 1/s) contributes -90^\circ de fase constante e -20\\ \text{dB/dec} de magnitude (para toda a faixa, como se fosse um pólo em origem).
  • Para fases assintóticas aproximadas:
    • Um pólo/zero de primeira ordem muda sua fase entre 0{,}1\omega_c e 10\omega_c, com \pm45^\circ em \omega=\omega_c.
    • Um par de polos muda a fase de 0^\circ a -180^\circ ao passar de muito abaixo de \omega_n para muito acima; para \zeta\approx0{,}707 a fase no pico \omega=\omega_n é aproximadamente -90^\circ (do par).

Passo 4

Determinar as inclinações e os pontos de quebra (combinação dos efeitos).
  • Antes de \omega=10 (ou seja, para \omega\ll 10):
    • O zero em 10 ainda não atuou (é praticamente constante).
    • O par de polos em \omega_n=10 ainda é aproximadamente constante.
    • Resta apenas o integrador: inclinação de -20\\ \text{dB/dec}.
  • Em \omega=10: atuam simultaneamente o zero (que dá +20\\ \text{dB/dec}) e o par de polos (que dá -40\\ \text{dB/dec}). Soma das mudanças de inclinação neste canto:
    • Mudança total = +20 + (-40) = -20\\ \text{dB/dec}.
    • Como já havia -20\\ \text{dB/dec} por causa do integrador, a inclinação após \omega=10 passa a ser -20 + (-20) = -40\\ \text{dB/dec}.
  • Conclusão de inclinações assintóticas:
    • Para \omega\ll 10: inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
    • Para \omega\gg 10: inclinação -40\\ \text{dB/dec}.

Passo 5

Obter níveis (âncora) para desenhar as retas assintóticas (cálculo explícito e didático).
  • Para \omega\ll 10 podemos aproximar s=j\omega pequeno:
    • Numerador |j\omega+10|\approx 10.
    • O termo quadrático |s^{2}+14{,}14s+100|\approx 100.
    • Denominador total \approx \omega\cdot 100.
    • Logo para \omega\ll 10: |H(j\omega)|\approx\frac{10}{100\,\omega}=\frac{0{,}1}{\omega}.
    • Em dB: 20\log_{10}|H(j\omega)|\approx 20\log_{10}(0{,}1)-20\log_{10}(\omega) = -20 -20\log_{10}(\omega).
    • Isso diz que em \omega=1 temos aproximadamente 20\log_{10}|H(j1)|\approx -20\\ \text{dB}. Em \omega=0{,}1 tem aproximadamente 0\\ \text{dB}.
    • (Cálculo exato rápido em \omega=1 para verificar: |j1+10|=\sqrt{1+100}=10{,}0499. Para o denominador interior: s^2+14{,}14s+100 = 99 + j14{,}14 cujo módulo é \approx100{,}005. Denominador total \approx 100{,}005, portanto |H(j1)|\approx0{,}1005\simeq -19{,}96\\ \text{dB}, consistente com a assíntota.)
  • Em \omega=10 (o canto):
    • Valor exato para referência (útil para posicionar as retas): já que em \omega=10 o termo quadrático torna-se s^{2}+14{,}14s+100 = -100 + j141{,}4 +100 = j141{,}4 (pois s^2=(j10)^2=-100 e \omega_n^2=100 anula), temos |H(j10)|=\frac{|j10+10|}{10\cdot|j141{,}4|}=\frac{\sqrt{10^2+10^2}}{10\cdot 141{,}4}=\frac{14{,}142}{1414}=0{,}01,ou seja 20\log_{10}|H(j10)|=-40\\ \text{dB}.
  • Em \omega\gg 10 (por exemplo \omega=100):
    • Para altas frequências o comportamento assintótico é |H(j\omega)|\approx 1/\omega^{2} (porque numerador cresce como \omega e denominador como \omega^{3}).
    • Assim: 20\log_{10}|H(j\omega)|\approx -40\log_{10}(\omega)+\text{const},e em particular em \omega=100 a magnitude assintótica será aproximadamente -80\\ \text{dB} (consistente com a inclinação -40\\ \text{dB/dec} partindo de -40\\ \text{dB} em \omega=10).

Passo 6

Construção prática do diagrama de magnitude (passo-a-passo para desenhar na prova):
  1. No eixo logaritmo dos \omega, marque \omega=0{,}1,\;1,\;10,\;100,\;1000.
  2. Comece a esquerda (muito baixo \omega): desenhe uma reta com inclinação -20\\ \text{dB/dec}. Você pode posicioná-la usando o ponto (\omega=1,\; -20\\ \text{dB}) (ver passo anterior).
  3. Em \omega=10 faça um canto: a inclinação muda em -20\\ \text{dB/dec} adicional, portanto a partir de \omega=10 a nova inclinação é -40\\ \text{dB/dec}.
  4. Ajuste as retas de forma que elas passem (assintoticamente) pelos pontos de âncora: aproximadamente 0\\ \text{dB} em \omega=0{,}1, -20\\ \text{dB} em \omega=1, -40\\ \text{dB} em \omega=10, e -80\\ \text{dB} em \omega=100.
  5. Observação qualitativa: o par de polos com \zeta=0{,}707 pode introduzir uma pequena curvatura (leve “saliência” ou amortecimento) em torno de \omega=10 — isso aparece no diagrama exato como uma leve depressão/ressonância, mas na assíntota desenhamos o canto direto (sem curvatura).

Passo 7

Construção prática do diagrama de fase (assintótico, passo-a-passo e explicação).
  • Componentes de fase:
    • Integrador ( 1/s): contribui sempre -90^\circ.
    • Zero em +10: contribui +90^\circ ao subir a frequência, com a transição entre aproximadamente 1 ( 0{,}1\omega_n) e 100 ( 10\omega_n), dando cerca de +45^\circ em \omega=10.
    • Par de polos em \omega_n=10: contribui -180^\circ no total, com transição entre 1 e 100, e aproximadamente -90^\circ em \omega=10 (para \zeta\approx0{,}707).
  • Soma das fases (valores assintóticos importantes):
    • Para \omega\ll 1 (muito abaixo de 0{,}1\omega_n): zero e par de polos ainda \approx 0^\circ cada; fase total \approx -90^\circ.
    • Em \omega=10: integrador -90^\circ, zero contribui cerca de +45^\circ, par de polos contribui cerca de -90^\circ; soma aproximada -90+45-90=-135^\circ.
    • Para \omega\gg 100: integrador -90^\circ, zero +90^\circ, par de polos -180^\circ; soma final -180^\circ.
  • Desenho prático:
    1. Para \omega<1: desenhe a linha de fase próxima a -90^\circ.
    2. Entre \omega=1 e \omega=100 faça a transição: a fase desce de -90^\circ para cerca de -180^\circ, passando por -135^\circ em \omega=10.
    3. Para \omega>100: mantenha a fase próxima de -180^\circ.

Passo 8

Resumo físico e dicas finais (motivação para a prova):
  • Padrão útil a memorizar: integrador (pólo em origem) sempre puxa para -20\\ \text{dB/dec} e -90^\circ. Zeros e polos em \omega_c alteram a inclinação em \pm 20\\ \text{dB/dec} por ordem e a fase em \pm 90^\circ (por ordem) ao longo de uma década para cada lado de \omega_c.
  • Aqui, zero simples e par de polos simples têm mesmos \omega_c=10, por isso a mudança total de inclinação neste canto é -20\\ \text{dB/dec} (resultado: de -20 passa para -40).
  • Para a prova: desenhe as retas assintóticas com os pontos-ancla que calculámos ( \omega=0{,}1,1,10,100) e depois refine, se quiser, lembrando que \zeta=0{,}707 gera pouca “ressonância” visível na magnitude.

Resposta

  • Magnitude (assintótica):
    • Para \omega\ll 10: inclinação -20\\ \text{dB/dec} com \;20\log_{10}|H(j1)|\approx -20\\ \text{dB} e \;20\log_{10}|H(j0{,}1)|\approx 0\\ \text{dB}.
    • Em \omega=10 (canto): 20\log_{10}|H(j10)|=-40\\ \text{dB}.
    • Para \omega\gg 10: inclinação -40\\ \text{dB/dec} (por exemplo, \;20\log_{10}|H(j100)|\approx -80\\ \text{dB}).
  • Fase (assintótica):
    • Para \omega\ll 1: \angle H\approx -90^\circ.
    • Em \omega=10: \angle H\approx -135^\circ.
    • Para \omega\gg 100: \angle H\approx -180^\circ.

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