Desenhe o Diagrama de Bode assintótico das seguintes funções de transferência:
(f)
(f)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Dada a função de transferência
- Pedido: desenhar o diagrama de Bode assintótico (magnitude e fase) de
. - Informações relevantes extraídas diretamente do enunciado (a função acima):
- Existe um zero real em
. - Existe um pólo simples em
(integrador). - Existe um par de polos complexos dados por
.
- Existe um zero real em
Passo 2
Fatoração e identificação de frequências características (ensino rápido sobre segunda ordem).
- Para entender o par de polos, escrevemos o polinômio no formato padrão de uma segunda ordem:
- Comparando coeficientes, obtemos
- Interpretação (rápida aula):
-
é a frequência natural (em rad/s) da dupla de polos: aqui . -
é o fator de amortecimento: é o valor de um Butterworth de 2ª ordem — não provoca pico grande, mas tem resposta de fase notável.
-
- Resumo de polos/zeros e suas frequências de canto:
- Zero em
rad/s. - Par de polos conjugados com
rad/s e . - Pólo em origem (integrador) com efeito em todas as frequências (ponto de canto efetivo em
).
- Zero em
Passo 3
Regras básicas de Bode assintótico que usaremos (mini-aula):
- Cada pólo simples (real) adiciona uma inclinação de
a partir de sua frequência de canto. - Cada zero simples (real) adiciona
a partir de sua frequência de canto. - Um par de polos conjugados (segunda ordem) adiciona
a partir da sua frequência natural (na assíntota). - Um integrador (
) contributes de fase constante e de magnitude (para toda a faixa, como se fosse um pólo em origem). - Para fases assintóticas aproximadas:
- Um pólo/zero de primeira ordem muda sua fase entre
e , com em . - Um par de polos muda a fase de
a ao passar de muito abaixo de para muito acima; para a fase no pico é aproximadamente (do par).
- Um pólo/zero de primeira ordem muda sua fase entre
Passo 4
Determinar as inclinações e os pontos de quebra (combinação dos efeitos).
- Antes de
(ou seja, para ): - O zero em
ainda não atuou (é praticamente constante). - O par de polos em
ainda é aproximadamente constante. - Resta apenas o integrador: inclinação de
.
- O zero em
- Em
: atuam simultaneamente o zero (que dá ) e o par de polos (que dá ). Soma das mudanças de inclinação neste canto: - Mudança total =
. - Como já havia
por causa do integrador, a inclinação após passa a ser .
- Mudança total =
- Conclusão de inclinações assintóticas:
- Para
: inclinação . - Para
: inclinação .
- Para
Passo 5
Obter níveis (âncora) para desenhar as retas assintóticas (cálculo explícito e didático).
- Para
podemos aproximar pequeno: - Numerador
. - O termo quadrático
. - Denominador total
. - Logo para
: - Em dB:
- Isso diz que em
temos aproximadamente . Em tem aproximadamente . - (Cálculo exato rápido em
para verificar: . Para o denominador interior: cujo módulo é . Denominador total , portanto , consistente com a assíntota.)
- Numerador
- Em
(o canto): - Valor exato para referência (útil para posicionar as retas): já que em
o termo quadrático torna-se (pois e anula), temos ou seja
- Valor exato para referência (útil para posicionar as retas): já que em
- Em
(por exemplo ): - Para altas frequências o comportamento assintótico é
(porque numerador cresce como e denominador como ). - Assim:
e em particular em a magnitude assintótica será aproximadamente (consistente com a inclinação partindo de em ).
- Para altas frequências o comportamento assintótico é
Passo 6
Construção prática do diagrama de magnitude (passo-a-passo para desenhar na prova):
- No eixo logaritmo dos
, marque . - Comece a esquerda (muito baixo
): desenhe uma reta com inclinação . Você pode posicioná-la usando o ponto (ver passo anterior). - Em
faça um canto: a inclinação muda em adicional, portanto a partir de a nova inclinação é . - Ajuste as retas de forma que elas passem (assintoticamente) pelos pontos de âncora: aproximadamente
em , em , em , e em . - Observação qualitativa: o par de polos com
pode introduzir uma pequena curvatura (leve “saliência” ou amortecimento) em torno de — isso aparece no diagrama exato como uma leve depressão/ressonância, mas na assíntota desenhamos o canto direto (sem curvatura).
Passo 7
Construção prática do diagrama de fase (assintótico, passo-a-passo e explicação).
- Componentes de fase:
- Integrador (
): contribui sempre . - Zero em
: contribui ao subir a frequência, com a transição entre aproximadamente ( ) e ( ), dando cerca de em . - Par de polos em
: contribui no total, com transição entre e , e aproximadamente em (para ).
- Integrador (
- Soma das fases (valores assintóticos importantes):
- Para
(muito abaixo de ): zero e par de polos ainda cada; fase total . - Em
: integrador , zero contribui cerca de , par de polos contribui cerca de ; soma aproximada . - Para
: integrador , zero , par de polos ; soma final .
- Para
- Desenho prático:
- Para
: desenhe a linha de fase próxima a . - Entre
e faça a transição: a fase desce de para cerca de , passando por em . - Para
: mantenha a fase próxima de .
- Para
Passo 8
Resumo físico e dicas finais (motivação para a prova):
- Padrão útil a memorizar: integrador (pólo em origem) sempre puxa para
e . Zeros e polos em alteram a inclinação em por ordem e a fase em (por ordem) ao longo de uma década para cada lado de . - Aqui, zero simples e par de polos simples têm mesmos
, por isso a mudança total de inclinação neste canto é (resultado: de passa para ). - Para a prova: desenhe as retas assintóticas com os pontos-ancla que calculámos (
) e depois refine, se quiser, lembrando que gera pouca “ressonância” visível na magnitude.
Resposta
- Magnitude (assintótica):
- Para
: inclinação com e - Em
(canto): - Para
: inclinação (por exemplo, ).
- Para
- Fase (assintótica):
- Para
: - Em
: - Para
:
- Para