Para os sistemas com as seguintes funções de transferência, determine a resposta de estado nulo.
H[z]=\frac{z}{(z+0.2)(z-0.8)}, para a entrada x[n]=e^{n+1} u[n]

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • O enunciado pede a resposta de estado nulo (ou resposta ao regime forçado com condições iniciais nulas) do sistema linear e causal dado pela função de transferência
H[z]=\frac{z}{(z+0,2)(z-0,8)}.
  • A entrada é
x[n]=e^{\,n+1}u[n].
  • Informações relevantes que já temos:
    • Resposta de estado nulo significa: assumir condições iniciais nulas e encontrar y[n] produzido por x[n].
    • Em termos de transformada em z, vamos usar Y[z]=H[z]X[z] e depois aplicar a transformada inversa para obter y[n].

Passo 2

Obter a transformada em z da entrada x[n].
  • Primeiro escrevemos x[n] numa forma padrão de exponencial: x[n]=e^{\,n+1}u[n]=e\cdot e^{\,n}u[n].
  • Lembrar do par de transformadas importante (causal): para qualquer constante a,
\text{Z}\{a^{n}u[n]\}=\frac{z}{z-a},
com região de convergência |z|>|a|.
  • Usando isso, a transformada de x[n] é
X[z]=e\cdot\text{Z}\{e^{\,n}u[n]\}=e\cdot\frac{z}{z-e}.
  • Observação sobre ROC: para x[n] o ROC é |z|>e. Não precisamos usar explicitamente o ROC além de saber que a transformada acima é válida como função racional.

Passo 3

Calcular Y[z]=H[z]X[z].
  • Multiplicando as transformadas:
Y[z]=H[z]X[z]=\frac{z}{(z+0,2)(z-0,8)}\cdot e\cdot\frac{z}{z-e}.
  • Simplificando:
Y[z]=\frac{e\,z^{2}}{(z-e)(z-0,8)(z+0,2)}.
  • Agora precisamos inverter essa função racional para obter y[n]. O jeito mais prático é escrever Y[z] como soma de termos do tipo \dfrac{A\,z}{z-r}, pois o par
\text{Z}\{r^{n}u[n]\}=\frac{z}{z-r}
é direto de inverter.

Passo 4

Estratégia de frações parciais apropriada e fórmula dos coeficientes.
  • Vamos buscar coeficientes A_{r} tais que
Y[z]=\sum_{r\in\{e,\,0,8,\,-0,2\}} A_{r}\,\frac{z}{z-r}.
  • Para encontrar A_{r} usamos o truque do resíduo: multiplicando Y[z] por (z-r) e avaliando em z=r (veja por que funciona: (z-r)\frac{z}{z-r}=z, então ao isolar o termo com pólo r obtemos A_{r}z, e avaliando em z=r obtemos A_{r}r; dividindo por r recuperamos A_{r}). Uma expressão conveniente é
A_{r}=\lim_{z\to r}\frac{(z-r)Y[z]}{z}.
  • Substituindo Y[z]=\dfrac{e\,z^{2}}{(z-e)(z-0,8)(z+0,2)} temos a forma prática
A_{r}=e\cdot\frac{r}{(r-\text{outro}_1)(r-\text{outro}_2)},
onde \text{outro}_1,\text{outro}_2 são as outras duas raízes do denominador.

Passo 5

Calcular explicitamente os coeficientes A_{e}, A_{0,8} e A_{-0,2}.
  • Para r=e:
A_{e}=e\cdot\frac{e}{(e-0,8)(e+0,2)}=\frac{e^{2}}{(e-0,8)(e+0,2)}.
  • Para r=0,8:
A_{0,8}=e\cdot\frac{0,8}{(0,8-e)(0,8+0,2)}=e\cdot\frac{0,8}{(0,8-e)\cdot 1}=\frac{0,8\,e}{0,8-e}.
  • Para r=-0,2:
A_{-0,2}=e\cdot\frac{-0,2}{(-0,2-e)(-0,2-0,8)}=e\cdot\frac{-0,2}{(-0,2-e)(-1)}.
Simplificando o denominador (-0,2-e)(-1)=(e+0,2), então
A_{-0,2}=\frac{-0,2\,e}{e+0,2}.

Passo 6

Fazer a transformada inversa usando os pares conhecidos.
  • Como já escrevemos Y[z] na forma
Y[z]=A_{e}\frac{z}{z-e}+A_{0,8}\frac{z}{z-0,8}+A_{-0,2}\frac{z}{z+0,2},
cada termo corresponde no domínio do tempo a
\text{Z}^{-1}\!\left\{\frac{z}{z-r}\right\}=r^{n}u[n].
  • Portanto, a resposta no tempo é a soma das três exponenciais (causais):
y[n]=\bigl(A_{e}\,e^{\,n}+A_{0,8}\,(0,8)^{n}+A_{-0,2}\,(-0,2)^{n}\bigr)\,u[n].

Passo 7

Substituir os valores dos coeficientes e comentar (opcional: aproximações numéricas).
  • Substituindo os A obtidos:
y[n]=\left(\frac{e^{2}}{(e-0,8)(e+0,2)}\,e^{\,n}+\frac{0,8\,e}{0,8-e}\,(0,8)^{n}+\frac{-0,2\,e}{e+0,2}\,(-0,2)^{n}\right)u[n].
  • Se quiser uma ideia numérica (apenas para conferência), com e\approx 2,71828 os coeficientes valem aproximadamente
    • A_{e}\approx 1{,}3203,
    • A_{0,8}\approx -1{,}1333,
    • A_{-0,2}\approx -0{,}1863,
      e então
y[n]\approx\bigl(1{,}3203\,e^{n}-1{,}1333\,(0{,}8)^{n}-0{,}1863\,(-0{,}2)^{n}\bigr)u[n].
  • Mas é preferível manter a forma exata em termos de e para provas e manipulações analíticas.

Resposta

y[n]=\left(\dfrac{e^{2}}{(e-0,8)(e+0,2)}\,e^{\,n}+\dfrac{0,8\,e}{0,8-e}\,(0,8)^{n}+\dfrac{-0,2\,e}{e+0,2}\,(-0,2)^{n}\right)u[n]

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