Para os sistemas com as seguintes funções de transferência, determine a resposta de estado nulo.
, para a entrada
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- O enunciado pede a resposta de estado nulo (ou resposta ao regime forçado com condições iniciais nulas) do sistema linear e causal dado pela função de transferência
- A entrada é
- Informações relevantes que já temos:
- Resposta de estado nulo significa: assumir condições iniciais nulas e encontrar
produzido por . - Em termos de transformada em
, vamos usar e depois aplicar a transformada inversa para obter .
- Resposta de estado nulo significa: assumir condições iniciais nulas e encontrar
Passo 2
Obter a transformada em
da entrada
.
- Primeiro escrevemos
numa forma padrão de exponencial: . - Lembrar do par de transformadas importante (causal): para qualquer constante
,
com região de convergência
.
- Usando isso, a transformada de
é
- Observação sobre ROC: para
o ROC é . Não precisamos usar explicitamente o ROC além de saber que a transformada acima é válida como função racional.
Passo 3
Calcular
.
- Multiplicando as transformadas:
- Simplificando:
- Agora precisamos inverter essa função racional para obter
. O jeito mais prático é escrever como soma de termos do tipo , pois o par
é direto de inverter.
Passo 4
Estratégia de frações parciais apropriada e fórmula dos coeficientes.
- Vamos buscar coeficientes
tais que
- Para encontrar
usamos o truque do resíduo: multiplicando por e avaliando em (veja por que funciona: , então ao isolar o termo com pólo obtemos , e avaliando em obtemos ; dividindo por recuperamos ). Uma expressão conveniente é
- Substituindo
temos a forma prática
onde
são as outras duas raízes do denominador.
Passo 5
Calcular explicitamente os coeficientes
,
e
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Simplificando o denominador
, então
Passo 6
Fazer a transformada inversa usando os pares conhecidos.
- Como já escrevemos
na forma
cada termo corresponde no domínio do tempo a
- Portanto, a resposta no tempo é a soma das três exponenciais (causais):
Passo 7
Substituir os valores dos coeficientes e comentar (opcional: aproximações numéricas).
- Substituindo os
obtidos:
- Se quiser uma ideia numérica (apenas para conferência), com
os coeficientes valem aproximadamente -
, -
, -
,
e então
-
- Mas é preferível manter a forma exata em termos de
para provas e manipulações analíticas.