Quais dos sistemas têm solução não-trivial?
\left\{\begin{array}{l}x+y+2 z=0 \\\\ 2 x+y+z=0 \\\\ 3 x-y+3 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} x + y + 2z = 0,\\\\ 2x + y + z = 0,\\\\ 3x - y + 3z = 0.
O conteúdo aqui é “sistemas lineares homogêneos” e o critério que vamos usar é: um sistema homogêneo tem solução não-trivial se, e somente se, o determinante da sua matriz de coeficientes for zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 3 & -1 & 3 \end{pmatrix},
e vamos calcular \det(A) usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores.

Passo 3

Calculemos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & 3\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & 3\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & -1\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & 3\end{pmatrix} =1\cdot3 - 1\cdot(-1)=4,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & 3\end{pmatrix} =2\cdot3 - 1\cdot3=3,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & -1\end{pmatrix} =2\cdot(-1) - 1\cdot3=-5.
Substituindo,
\det(A)=1\cdot4 -1\cdot3 +2\cdot(-5)=4-3-10=-9.

Passo 4

Como \det(A)=-9\neq0, o sistema homogêneo só admite a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). Não há solução não-trivial.

Resposta

O sistema não tem solução não-trivial; a única solução é (0,0,0).

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