Quais dos sistemas têm solução não-trivial?
\begin{cases}2 x+y-z & =0 \\\ x-2 y-3 z & =0 \\\\ -3 x-y+2 z & =0\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} 2x + y - z = 0,\\\ x - 2y - 3z = 0,\\\\ -3x - y + 2z = 0.
O conteúdo é Álgebra Linear: um sistema homogêneo tem solução não trivial se, e somente se, o determinante da matriz de coeficientes for zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes:
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\\\ 1 & -2 & -3\\\\ -3 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
Para existir solução não trivial precisamos de \det(A)=0.

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
\det(A) =2\begin{vmatrix}-2 & -3\\\\ -1 & 2\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}1 & -3\\\\ -3 & 2\end{vmatrix} +(-1)\begin{vmatrix}1 & -2\\\\ -3 & -1\end{vmatrix}.
Agora,
\begin{vmatrix}-2 & -3\\\\ -1 & 2\end{vmatrix} =(-2)\cdot2-(-3)\cdot(-1)=-4-3=-7,
\begin{vmatrix}1 & -3\\\\ -3 & 2\end{vmatrix} =1\cdot2-(-3)\cdot(-3)=2-9=-7,
\begin{vmatrix}1 & -2\\\\ -3 & -1\end{vmatrix} =1\cdot(-1)-(-2)\cdot(-3)=-1-6=-7.
Portanto,
\det(A)=2\cdot(-7)-1\cdot(-7)+(-1)\cdot(-7)=-14+7+7=0.

Passo 4

Como \det(A)=0, o sistema homogêneo tem infinitas soluções, ou seja, existe solução não trivial.

Resposta

O sistema dado possui solução não trivial.

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