Um sítio é vendido nas seguintes condições: Sendo de
a.m. a taxa de juros, determinar até que preço é interessante adquirir este sítio a vista.
06 prestações semestrais de
7.500,00
3^{\circ}$ mês.
06 prestações semestrais de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
- Taxa de juros:
ao mês. - Existem
prestações semestrais de cada. - As prestações são vencíveis a partir do final do
mês, ou seja, nos meses . - Pergunta: até que preço é interessante adquirir o sítio à vista? (Ou seja: qual o valor presente hoje dessas
prestações, descontadas à taxa dada?)
Passo 2
Ideia e fórmula básica (passo-a-passo bem didático):
- Um pagamento futuro
devido em meses tem valor presente (PV) hoje igual a
onde
é a taxa de juros por mês (aqui
).
Expliquei o que cada símbolo significa: = valor futuro (a prestação,
),
= quanto isso vale hoje,
= número de meses até o pagamento,
= taxa mensal.
Expliquei o que cada símbolo significa:
- Como temos várias prestações, o valor presente total é a soma dos PVs individuais:
pois o primeiro pagamento ocorre em
meses e depois a cada
meses (portanto
para
).
Passo 3
Transformando a soma em uma soma geométrica (facilita a conta):
- Factorizamos
:
- Definimos a razão da progressão geométrica
- A soma dos primeiros
termos de uma progressão geométrica com razão é
Portanto
Passo 4
Calcular
e inversos necessários (faça assim na prova sem calculadora, multiplicando passo a passo):
- Primeiro calculemos potências pequenas:
Logo
(Explicação curta: você multiplica sucessivamente por
para obter as potências; o inverso é a divisão 1 dividido pelo resultado.)
Passo 5
Calcular
:
- Continue multiplicando para chegar a
:
- Então
Passo 6
Calcular
até
para usar na soma (podemos obter
multiplicando sucessivamente):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
(Obs.: esses valores foram obtidos multiplicando sucessivamente por
. Na prova você pode calcular até a precisão que quiser; aqui mantivemos 7 casas decimais para segurança.)
Passo 7
Calcular a soma geométrica e o fator total:
- A soma dos 6 termos é
- Multiplicando por
:
Passo 8
Obter o valor presente total e interpretar:
- Finalmente,
- Interpretação prática: se você pagar à vista até
estará pagando um valor equivalente (pelo ponto de vista financeiro, à taxa de a.m.) às 6 prestações semestrais de a partir do 3.º mês. Portanto, é interessante comprar à vista se o preço pedido for menor ou igual a esse valor.