Um sítio é vendido nas seguintes condições: Sendo de 2,5 \% a.m. a taxa de juros, determinar até que preço é interessante adquirir este sítio a vista.
06 prestações semestrais de \ 7.500,00 cada, vencíveis a partir do final doí3^{\circ}$ mês.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
  • Taxa de juros: \;2{,}5\% ao mês.
  • Existem 6 prestações semestrais de \\$7.500{,}00 cada.
  • As prestações são vencíveis a partir do final do 3^{\circ} mês, ou seja, nos meses 3,9,15,21,27,33.
  • Pergunta: até que preço é interessante adquirir o sítio à vista? (Ou seja: qual o valor presente hoje dessas 6 prestações, descontadas à taxa dada?)

Passo 2

Ideia e fórmula básica (passo-a-passo bem didático):
  • Um pagamento futuro \text{FV} devido em n meses tem valor presente (PV) hoje igual a
\text{PV}=\frac{\text{FV}}{(1+i)^{n}},
onde i é a taxa de juros por mês (aqui i=2{,}5\% = 0{,}025).
Expliquei o que cada símbolo significa: \text{FV} = valor futuro (a prestação, \$7.500), \text{PV} = quanto isso vale hoje, n = número de meses até o pagamento, i = taxa mensal.
  • Como temos várias prestações, o valor presente total é a soma dos PVs individuais:
\text{PV}_{\text{total}}=\sum_{k=0}^{5}\frac{7.500}{(1+0{,}025)^{3+6k}},
pois o primeiro pagamento ocorre em n=3 meses e depois a cada 6 meses (portanto n=3+6k para k=0,\dots,5).

Passo 3

Transformando a soma em uma soma geométrica (facilita a conta):
  • Factorizamos (1+0{,}025)^{-3}:
\text{PV}_{\text{total}}=7.500\,(1+0{,}025)^{-3}\sum_{k=0}^{5}\big((1+0{,}025)^{-6}\big)^{k}.
  • Definimos a razão da progressão geométrica
r=(1+0{,}025)^{-6}.
  • A soma dos primeiros 6 termos de uma progressão geométrica com razão r é
\sum_{k=0}^{5} r^{k}=\frac{1-r^{6}}{1-r}.
Portanto
\text{PV}_{\text{total}}=7.500\,(1{,}025)^{-3}\cdot\frac{1-r^{6}}{1-r}.

Passo 4

Calcular (1{,}025)^{n} e inversos necessários (faça assim na prova sem calculadora, multiplicando passo a passo):
  • Primeiro calculemos potências pequenas:
(1{,}025)^{2}=1{,}050625,
(1{,}025)^{3}=1{,}050625\times1{,}025=1{,}076890625.
Logo
(1{,}025)^{-3}=\frac{1}{1{,}076890625}\approx0{,}92859994.
(Explicação curta: você multiplica sucessivamente por 1{,}025 para obter as potências; o inverso é a divisão 1 dividido pelo resultado.)

Passo 5

Calcular r=(1{,}025)^{-6}:
  • Continue multiplicando para chegar a (1{,}025)^{6}:
(1{,}025)^{4}=1{,}076890625\times1{,}025=1{,}103812890625,
(1{,}025)^{5}=1{,}103812890625\times1{,}025=1{,}131408212890625,
(1{,}025)^{6}=1{,}131408212890625\times1{,}025=1{,}159693418212890625\approx1{,}159693418213.
  • Então
r=(1{,}025)^{-6}=\frac{1}{1{,}159693418213}\approx0{,}8622969.

Passo 6

Calcular r^{k} até k=6 para usar na soma (podemos obter r^{6} multiplicando sucessivamente):
  • r^{0}=1.
  • r^{1}=0{,}8622969.
  • r^{2}\approx0{,}8622969^{2}\approx0{,}7435397.
  • r^{3}\approx0{,}6411469.
  • r^{4}\approx0{,}5528580.
  • r^{5}\approx0{,}4767250.
  • r^{6}\approx0{,}4120785.
(Obs.: esses valores foram obtidos multiplicando sucessivamente por r. Na prova você pode calcular até a precisão que quiser; aqui mantivemos 7 casas decimais para segurança.)

Passo 7

Calcular a soma geométrica e o fator total:
  • A soma dos 6 termos é
\sum_{k=0}^{5}r^{k}=\frac{1-r^{6}}{1-r}=\frac{1-0{,}4120785}{1-0{,}8622969}=\frac{0{,}5879215}{0{,}1377031}\approx4{,}2697.
  • Multiplicando por (1{,}025)^{-3}:
(1{,}025)^{-3}\times\sum_{k=0}^{5}r^{k}\approx0{,}92859994\times4{,}2697\approx3{,}964872.

Passo 8

Obter o valor presente total e interpretar:
  • Finalmente,
\text{PV}_{\text{total}}=7.500\times3{,}964872\approx29.736{,}54.
  • Interpretação prática: se você pagar à vista até \$29.736{,}54 estará pagando um valor equivalente (pelo ponto de vista financeiro, à taxa de 2{,}5\% a.m.) às 6 prestações semestrais de \$7.500 a partir do 3.º mês. Portanto, é interessante comprar à vista se o preço pedido for menor ou igual a esse valor.

Resposta

\$29.736{,}54

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