Uma loja apresenta duas propostas de venda de um produto eletrônico:
a) entrada de \ 400,00 mais 8 prestações mensais de \çõ 720,00 cada;
b) entrada de \ 650,00 mais 15 prestações mensais deçõ$600,00$ cada.
Sendo de 3,5 \% a.m. a taxa corrente de juros, indicar a alternativa mais atraente para o comprador.

Passo 1

O enunciado dá duas propostas de pagamento para o mesmo produto e pede que indiquemos qual é mais atraente para o comprador, considerando a taxa corrente de juros de 3,5\% ao mês. Dados fornecidos:
  • Taxa de juros mensal: i = 3,5\% = 0,035.
  • Alternativa (a): entrada de \$\,400,00 mais 8 prestações mensais de \$\,720,00 cada.
  • Alternativa (b): entrada de \$\,650,00 mais 15 prestações mensais de \$\,600,00 cada.
O que devemos fazer: calcular o valor presente (na data da entrada) de cada proposta usando a taxa dada e comparar — a proposta com menor valor presente é mais vantajosa para o comprador.

Passo 2

Conceito e ideia de solução (explicação didática): quando há pagamentos parcelados ao longo do tempo, o dinheiro no futuro vale menos do que o mesmo valor hoje por causa dos juros. Para comparar duas propostas que envolvem prestações ao longo do tempo, trazemos todas as parcelas ao valor presente usando a taxa de juros e somamos a entrada. O comprador deve escolher a opção com menor soma presente.
Para trazer um pagamento futuro de um período k ao valor presente usamos o fator de desconto (1+i)^{-k}, onde:
i
é a taxa de juros por período (aqui mensal) e k é o número de períodos até o pagamento.
Quando há uma sequência de prestações iguais (uma anuidade ordinária — pagamento no fim de cada período), o valor presente das n prestações de valor R é dado pela fórmula:
\text{PV}_{\text{anuidade}} = R \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}.
Explicando cada coisa: R é o valor de cada prestação, n é o número de prestações, i é a taxa por período, e \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} é o fator que soma os descontos de todas as parcelas. Essa fórmula vem da soma geométrica das potências (1+i)^{-1} + (1+i)^{-2} + \dots + (1+i)^{-n}.

Passo 3

Aplicando a fórmula à alternativa (a).
Dados:
i = 0,035,\quad R = \$\,720,00,\quad n = 8,\quad \text{entrada} = \$\,400,00.
Calculemos primeiro (1+i)^{8} e depois seu inverso (1+i)^{-8}. Vamos calcular multiplicando sucessivamente:
(1{+}i) = 1,035
(1{+}i)^2 = 1,071225
(1{+}i)^3 = 1,108718875
(1{+}i)^4 = 1,147524035625
(1{+}i)^5 = 1,187687376871875
(1{+}i)^6 = 1,2292564350623906
(1{+}i)^7 = 1,2722804102895743
(1{+}i)^8 = 1,3168102246497094 \approx 1,31681022465.
Portanto
(1{+}i)^{-8} \approx 0,759410.
Agora o fator da anuidade:
\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} = \frac{1-0,759410}{0,035} = \frac{0,240590}{0,035} \approx 6,8740.
Valor presente das 8 prestações:
\text{PV}_{\text{prest.a}} = 720 \cdot 6,8740 \approx \$\,4.949,28.
Somando a entrada:
\text{PV}_{\text{a}} = \$\,400,00 + \$\,4.949,28 = \$\,5.349,28\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Aplicando a fórmula à alternativa (b).
Dados:
i = 0,035,\quad R = \$\,600,00,\quad n = 15,\quad \text{entrada} = \$\,650,00.
Calculemos (1+i)^{15} multiplicando a partir de (1+i)^8 que já tínhamos:
(1{+}i)^9 \approx 1,3628985825124667
(1{+}i)^{10} \approx 1,410600031900403
(1{+}i)^{11} \approx 1,459971033016917
(1{+}i)^{12} \approx 1,511070018016917
(1{+}i)^{13} \approx 1,563957468647509
(1{+}i)^{14} \approx 1,6186959800501719
(1{+}i)^{15} \approx 1,6753503393519269 \approx 1,67535033935.
Logo
(1{+}i)^{-15} \approx 0,59687.
Fator da anuidade:
\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} = \frac{1-0,59687}{0,035} = \frac{0,40313}{0,035} \approx 11,5180.
Valor presente das 15 prestações:
\text{PV}_{\text{prest.b}} = 600 \cdot 11,5180 \approx \$\,6.910,80.
Somando a entrada:
\text{PV}_{\text{b}} = \$\,650,00 + \$\,6.910,80 = \$\,7.560,80\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Comparação final e interpretação (motivação intuitiva):
  • Valor presente da alternativa (a): \text{PV}_{\text{a}} \approx \$\,5.349,28.
  • Valor presente da alternativa (b): \text{PV}_{\text{b}} \approx \$\,7.560,80.
Como o comprador prefere pagar menos em termos de valor presente (o custo real em termos de hoje), a alternativa (a) é muito mais vantajosa. A alternativa (b) custa bem mais quando trazida ao valor presente porque tem muitas prestações, e a taxa de juros mensal faz com que o total descontado fique maior.

Resposta

A alternativa (a) é mais atraente para o comprador.

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