Uma loja apresenta duas propostas de venda de um produto eletrônico:
a) entrada de
400,00
720,00 cada;
b) entrada de
650,00
$600,00$ cada.
Sendo de
a.m. a taxa corrente de juros, indicar a alternativa mais atraente para o comprador.
a) entrada de
b) entrada de
Passo 1
O enunciado dá duas propostas de pagamento para o mesmo produto e pede que indiquemos qual é mais atraente para o comprador, considerando a taxa corrente de juros de
ao mês. Dados fornecidos:
- Taxa de juros mensal:
. - Alternativa (a): entrada de
mais prestações mensais de cada. - Alternativa (b): entrada de
mais prestações mensais de cada.
O que devemos fazer: calcular o valor presente (na data da entrada) de cada proposta usando a taxa dada e comparar — a proposta com menor valor presente é mais vantajosa para o comprador.
Passo 2
Conceito e ideia de solução (explicação didática): quando há pagamentos parcelados ao longo do tempo, o dinheiro no futuro vale menos do que o mesmo valor hoje por causa dos juros. Para comparar duas propostas que envolvem prestações ao longo do tempo, trazemos todas as parcelas ao valor presente usando a taxa de juros e somamos a entrada. O comprador deve escolher a opção com menor soma presente.
Para trazer um pagamento futuro de um período
ao valor presente usamos o fator de desconto
, onde:
é a taxa de juros por período (aqui mensal) e
é o número de períodos até o pagamento.
Quando há uma sequência de prestações iguais (uma anuidade ordinária — pagamento no fim de cada período), o valor presente das
prestações de valor
é dado pela fórmula:
Explicando cada coisa:
é o valor de cada prestação,
é o número de prestações,
é a taxa por período, e
é o fator que soma os descontos de todas as parcelas. Essa fórmula vem da soma geométrica das potências
.
Passo 3
Aplicando a fórmula à alternativa (a).
Dados:
Calculemos primeiro
e depois seu inverso
. Vamos calcular multiplicando sucessivamente:
Portanto
Agora o fator da anuidade:
Valor presente das 8 prestações:
Somando a entrada:
Passo 4
Aplicando a fórmula à alternativa (b).
Dados:
Calculemos
multiplicando a partir de
que já tínhamos:
Logo
Fator da anuidade:
Valor presente das 15 prestações:
Somando a entrada:
Passo 5
Comparação final e interpretação (motivação intuitiva):
- Valor presente da alternativa (a):
. - Valor presente da alternativa (b):
.
Como o comprador prefere pagar menos em termos de valor presente (o custo real em termos de hoje), a alternativa (a) é muito mais vantajosa. A alternativa (b) custa bem mais quando trazida ao valor presente porque tem muitas prestações, e a taxa de juros mensal faz com que o total descontado fique maior.
Resposta
A alternativa (a) é mais atraente para o comprador.