Em que situação ou situações é possível desprezar a resistência do ar?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Em que situação ou situações é possível desprezar a resistência do ar?”\n
Informações implícitas que temos que considerar: o problema é conceitual — quer saber quando a força de arrasto do ar pode ser considerada desprezível em comparação com outras forças que atuam no corpo (peso, forças de inércia, reações, etc.). Não há figura nem dados numéricos dados pelo enunciado, então precisaremos expor critérios gerais e quantitativos que permitem decidir, em uma situação concreta, se o arrasto pode ou não ser desprezado.

Passo 2

O que é a “força de resistência do ar” (arrasto) e como estimá-la: \n
A forma mais comum de arrasto em fluxo moderado/rápido é a lei quadrática:
F_D \approx \tfrac{1}{2}\,\rho_{\text{ar}}\,C_D\,A\,v^2,
onde:
  • \rho_{\text{ar}} é a densidade do ar (tipicamente \rho_{\text{ar}}\approx1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}),\n
  • C_D é o coeficiente de arrasto (depende da forma; por exemplo C_D\approx0{,}47 para uma esfera),\n
  • A é a área de seção transversal do corpo perpendicular ao fluxo (m²),\n
  • v é a velocidade relativa ao ar (m/s).\n
    Para partículas muito pequenas e em regime de baixo número de Reynolds o arrasto é linear em v (lei de Stokes):
F_D = 6\pi \eta r v,
onde \eta é a viscosidade do ar e r o raio da esfera.

Passo 3

Como decidir quantitativamente se o arrasto é desprezível: comparação de ordens de grandeza\n
Regra geral: desprezamos o arrasto quando a força de arrasto é muito menor que a(s) força(s) dominante(s) do problema (por exemplo o peso mg ou uma força inercial ma). Isso se escreve como uma desigualdade:
F_D \ll F_{\text{dominante}}.
No caso de quedas ou movimentos dominados pela gravidade a comparação típica é
\frac{F_D}{mg} \ll 1.
Substituindo a expressão quadrática para F_D obtemos a condição prática
\frac{\tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}} C_D A v^2}{m g} \ll 1.
Isto dá um critério direto para a velocidade característica v: se v for muito menor que a velocidade de referência
v_{\text{lim}} = \sqrt{\frac{2 m g}{\rho_{\text{ar}} C_D A}},
então o arrasto é pequeno em relação ao peso.

Passo 4

Interpretação física do critério e uso na prova (como aplicar passo a passo)\n
  1. Identifique a força dominante do problema: geralmente mg (queda livre), ou ma (problemas com aceleração prescrita).\n
  2. Calcule ou estime A, m, C_D e uma velocidade característica v do movimento (por exemplo velocidade típica, velocidade inicial, velocidade máxima esperada).\n
  3. Calcule a razão \dfrac{F_D}{F_{\text{dominante}}} usando a expressão apropriada (quadrática ou de Stokes). Se essa razão for, por exemplo, menor que 0{,}01 (ou outro limiar pequeno escolhido), então é seguro desprezar o arrasto no contexto da prova.\n
    Dica prática: muitas provas pedem aproximações; escolher um limiar como 1\% ou 5\% torna a decisão objetiva.

Passo 5

Exemplo numérico 1 — esfera densa e relativamente grande (para você ter um parâmetro)\n
Considere uma esfera de aço com raio r=0{,}05\\ \mathrm{m} ( 5\\ \mathrm{cm}).\n
  • Volume \;V=\tfrac{4}{3}\pi r^3\n
  • Massa aproximada \;m=\rho_{\text{aço}}Vç com \rho_{\text{aço}}\approx7800\\ \mathrm{kg/m^3}ç\n
  • Área de seção \;A=\pi r^2\n
    Pegando \rho_{\text{ar}}=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3} e C_D\approx0{,}47 e substituindo na expressão de v_{\text{lim}} (mostro só o raciocínio, não preciso das contas exatas no enunciado): obtemos um v_{\text{lim}} da ordem de 10^2\\ \mathrm{m/s}. Conclusão: para velocidades muito menores que essa (movimentos lentos, quedas de poucas dezenas de m/s) a resistência do ar é desprezível para essa esfera pesada.

Passo 6

Exemplo numérico 2 — bola de ping-pong (para contrastar)\n
Uma bola de ping-pong tem massa m\approx0{,}0027\\ \mathrm{kg} e área A\approx\pi (0{,}02)^2\\ \mathrm{m^2}. Usando os mesmos \rho_{\text{ar}} e C_D, o v_{\text{lim}} sai da ordem de alguns \mathrm{m/s} (por exemplo v_{\text{lim}}\approx8\\ \mathrm{m/s}). Conclusão: em velocidades típicas de jogo ou de arremesso (vários \mathrm{m/s}) a resistência do ar é relevante e NÃO pode ser desprezada.

Passo 7

Exemplo numérico 3 — gotas muito pequenas (regime de Stokes)\n
Para uma gota de raio r=10^{-5}\\ \mathrm{m} ( 10\\ \mu\mathrm{m} ), a lei de Stokes dá uma velocidade terminal pequena, da ordem de 10^{-2}\\ \mathrm{m/s}. Isso mostra que para partículas micronizadas a resistência do ar domina o comportamento e certamente não pode ser desprezada.

Passo 8

Resumo prático e regras de bolso (para usar em prova sem muitas contas)\n
  • Se o corpo for grande, pesado e compacto (pedra, peça metálica de pequena área relativa) e as velocidades forem moderadas/pequenas, geralmente dá para desprezar a resistência do ar.\n
  • Se o corpo for leve, grande área relativa (papel, folha, balão), ou as velocidades forem grandes e o tempo de movimento razoável, a resistência do ar costuma ser importante.\n
  • Para partículas muito pequenas (aerossóis, gotas finas), a resistência do ar domina sempre: não despreze.\n
  • Use a comparação \dfrac{F_D}{mg} ou \dfrac{F_D}{ma} como teste rápido; se for ≪ 1 (por exemplo <0{,}01 ou <0{,}05) pode desprezar com segurança.\n
  • Lembre-se do número de Reynolds \mathrm{Re}=\dfrac{\rho_{\text{ar}} v L}{\mu}: regimes diferentes (linear vs quadrático) mudam a expressão de F_D, mas a ideia de comparação de forças permanece a mesma.

Passo 9

Como justificar na prova (linguagem curta e objetiva que o professor gosta)\n
Explique qual é a força dominante e estime numericamente a razão \dfrac{F_D}{F_{\text{dominante}}}. Se essa razão for pequena, escreva algo como: “Como \dfrac{F_D}{mg}\approx0{,}0X \ll 1, a resistência do ar é desprezível e podemos modelar o movimento sem arrasto.” Garanta que mostrou todas as contas de estimativa (valores usados para \rho_{\text{ar}}, C_D, A, m, v).

Resposta

Quando a força de arrasto F_D é muito menor que a(s) força(s) dominante(s) do problema (por exemplo \dfrac{F_D}{mg}\ll1 ou \dfrac{F_D}{ma}\ll1).\n
Para corpos grandes e densos com pequena área relativa e velocidades baixas (ex.: pedra sólida em queda curta) — nestes casos v\ll v_{\text{lim}}=\sqrt{\dfrac{2mg}{\rho_{\text{ar}}C_DA}}.\n
Nunca desprezar para partículas muito pequenas (gota, poeira) ou para objetos leves/grandes área (papel, balão) onde o arrasto domina.

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