Se não for grande a diferença de temperatura \Delta \mathrm{T} entre objeto e sua vizinhança, a taxa de esfriamento ou aquecimento é aproximadamente proporcional à diferença de temperatura entre objeto e vizinhança:
Conhecida como lei do resfriamento de Newton. a) sendo \Delta \mathrm{T}_{\mathrm{o}} a diferença de temperatura em certo instante, obtenha a expressão para \Delta \mathrm{T} em função do tempo (t). b) Se \mathrm{k}=0,5 \mathrm{~min}^{-1}, calcule o tempo necessário para que um objeto, inicialmente a 95^{\circ} \mathrm{C}, tenha sua temperatura diminuída até 40^{\circ} \mathrm{C}, num dia de temperatura 20^{\circ} \mathrm{C}
Passo 1
O enunciado diz que, quando a diferença de temperatura entre um objeto e sua vizinhança não é grande, a taxa de variação dessa diferença é aproximadamente proporcional à própria diferença. Precisamos:
Obter a expressão de \Delta T em função do tempo t, sendo \Delta T_0 a diferença de temperatura em um instante inicial (ou seja, t=0).
Calcular o tempo necessário para que um objeto inicialmente a 95^\circ\mathrm{C} chegue a 40^\circ\mathrm{C} quando a temperatura ambiente é 20^\circ\mathrm{C}, usando k=0,5\\ \mathrm{min}^{-1}.
Informações relevantes dadas:
A lei do resfriamento de Newton: a taxa de variação de \Delta T é proporcional a \Delta T.
Símbolos conhecidos: \Delta T(t) diferença de temperatura no tempo t; \Delta T_0 diferença inicial \Delta T(0); constante de proporcionalidade k.
No item (b): temperatura inicial do objeto 95^\circ\mathrm{C}, temperatura ambiente 20^\circ\mathrm{C}, temperatura alvo 40^\circ\mathrm{C}, e k=0,5\\ \mathrm{min}^{-1}.
Passo 2
Modelagem matemática da lei: a afirmação “taxa de esfriamento é proporcional à diferença de temperatura” vira uma equação diferencial. Vamos definir \Delta T(t) como
Explicação do sinal negativo: quando o objeto está mais quente que o ambiente (\Delta T>0), a temperatura do objeto diminui, logo a derivada deve ser negativa; por isso o sinal menos. Aqui k>0 é a constante de resfriamento.
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial por separação de variáveis (método simples e direto):
Escrevemos
\frac{d(\Delta T)}{dt} = -k\,\Delta T.
Separamos as variáveis \Delta T e t:
\frac{1}{\Delta T}\,d(\Delta T) = -k\,dt.
Agora integramos ambos os lados. A integral de 1/\Delta T é \ln|\Delta T|. Assim,
Convertendo a parte fracionária para segundos: 0,644\times 60\approx 38,6\\ \text{s}. Logo aproximadamente 2\\ \text{min}\\\ 39\\ \text{s}.
Um reforço prático: com k=0,5\\ \mathrm{min}^{-1} a constante de tempo é 1/k=2\\ \text{min}. Após um tempo igual a 1/k a diferença cai para e^{-1}\approx0,37 do valor inicial; no nosso caso, em pouco mais de uma constante de tempo a diferença foi de 75 para 20.