Se não for grande a diferença de temperatura \Delta \mathrm{T} entre objeto e sua vizinhança, a taxa de esfriamento ou aquecimento é aproximadamente proporcional à diferença de temperatura entre objeto e vizinhança:
Conhecida como lei do resfriamento de Newton. a) sendo \Delta \mathrm{T}_{\mathrm{o}} a diferença de temperatura em certo instante, obtenha a expressão para \Delta \mathrm{T} em função do tempo (t). b) Se \mathrm{k}=0,5 \mathrm{~min}^{-1}, calcule o tempo necessário para que um objeto, inicialmente a 95^{\circ} \mathrm{C}, tenha sua temperatura diminuída até 40^{\circ} \mathrm{C}, num dia de temperatura 20^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado diz que, quando a diferença de temperatura entre um objeto e sua vizinhança não é grande, a taxa de variação dessa diferença é aproximadamente proporcional à própria diferença. Precisamos:
  1. Obter a expressão de \Delta T em função do tempo t, sendo \Delta T_0 a diferença de temperatura em um instante inicial (ou seja, t=0).
  2. Calcular o tempo necessário para que um objeto inicialmente a 95^\circ\mathrm{C} chegue a 40^\circ\mathrm{C} quando a temperatura ambiente é 20^\circ\mathrm{C}, usando k=0,5\\ \mathrm{min}^{-1}.
Informações relevantes dadas:
  • A lei do resfriamento de Newton: a taxa de variação de \Delta T é proporcional a \Delta T.
  • Símbolos conhecidos: \Delta T(t) diferença de temperatura no tempo t; \Delta T_0 diferença inicial \Delta T(0); constante de proporcionalidade k.
  • No item (b): temperatura inicial do objeto 95^\circ\mathrm{C}, temperatura ambiente 20^\circ\mathrm{C}, temperatura alvo 40^\circ\mathrm{C}, e k=0,5\\ \mathrm{min}^{-1}.

Passo 2

Modelagem matemática da lei: a afirmação “taxa de esfriamento é proporcional à diferença de temperatura” vira uma equação diferencial. Vamos definir \Delta T(t) como
\Delta T(t)=T_{\text{objeto}}(t)-T_{\text{ambiente}}.
A proporcionalidade se traduz em
\frac{d}{dt}\big(\Delta T(t)\big) = -k\,\Delta T(t).
Explicação do sinal negativo: quando o objeto está mais quente que o ambiente ( \Delta T>0), a temperatura do objeto diminui, logo a derivada deve ser negativa; por isso o sinal menos. Aqui k>0 é a constante de resfriamento.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial por separação de variáveis (método simples e direto):
Escrevemos
\frac{d(\Delta T)}{dt} = -k\,\Delta T.
Separamos as variáveis \Delta T e t:
\frac{1}{\Delta T}\,d(\Delta T) = -k\,dt.
Agora integramos ambos os lados. A integral de 1/\Delta T é \ln|\Delta T|. Assim,
\int \frac{1}{\Delta T}\,d(\Delta T) = \int -k\,dt
\Rightarrow \ln\big|\Delta T\big| = -k t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolamos \Delta T exponenciando:
\big|\Delta T\big| = e^{C} e^{-k t}.
Como \Delta T pode ser tomado com sinal (no contexto de resfriamento normalmente \Delta T>0), absorvemos o e^{C} num parâmetro positivo A:
\Delta T(t) = A e^{-k t}.
Usamos a condição inicial \Delta T(0)=\Delta T_0 para determinar A:
\Delta T_0 = A e^{0} = A.
Portanto
\boxed{\Delta T(t)=\Delta T_0\,e^{-k t}.}
Esta é a expressão geral pedida no item (a). Interpretação: a diferença de temperatura decai exponencialmente com constante de tempo 1/k.

Passo 5

Agora aplicamos ao item (b). Dados:
T_{\text{inicial}}=95^\circ\mathrm{C},\quad T_{\text{ambiente}}=20^\circ\mathrm{C},\quad T_{\text{alvo}}=40^\circ\mathrm{C},\quad k=0,5\\ \mathrm{min}^{-1}.
Calculemos as diferenças \Delta T:
\Delta T_0 = 95^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=75^\circ\mathrm{C}.
\Delta T_{\text{alvo}} = 40^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=20^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Usamos a fórmula \Delta T(t)=\Delta T_0 e^{-k t} e resolvemos para t quando \Delta T(t)=\Delta T_{\text{alvo}}:
20 = 75\,e^{-0,5\,t}.
Isolando o expoente:
e^{-0,5\,t} = \frac{20}{75} = \frac{4}{15}.
Aplicamos logaritmo natural:
-0,5\,t = \ln\!\left(\frac{4}{15}\right).
Portanto
t = -\frac{1}{0,5}\,\ln\!\left(\frac{4}{15}\right) = -2\,\ln\!\left(\frac{4}{15}\right).

Passo 7

Cálculo numérico aproximado. Primeiro avalio o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{4}{15}\right)=\ln(0,26666\ldots)\approx -1,322.
Assim
t \approx -2\times(-1,322)=2,644\\ \text{min}.
Convertendo a parte fracionária para segundos: 0,644\times 60\approx 38,6\\ \text{s}. Logo aproximadamente 2\\ \text{min}\\\ 39\\ \text{s}.
Um reforço prático: com k=0,5\\ \mathrm{min}^{-1} a constante de tempo é 1/k=2\\ \text{min}. Após um tempo igual a 1/k a diferença cai para e^{-1}\approx0,37 do valor inicial; no nosso caso, em pouco mais de uma constante de tempo a diferença foi de 75 para 20.

Resposta

\Delta T(t)=\Delta T_0\,e^{-k t}.\n
t\approx 2,644\\ \text{min} (aproximadamente 2\\ \text{min}\\\ 39\\ \text{s}).

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