(a) Sketch the DSB-SC signal corresponding to m(t)=cos 2 pi t.
(b) This DSB-SC signal m(t) cos omegac t is applied at the input of an envelope detector Show that the output of the envelope detector is not m(t), but |m(t)|. Show that, in general, if an AM signal [A+m(t)] cos omegac t is envelope-detected, the output is |A+m(t)|. Hence, show that the condition for recovering m(t) from the envelope detector is A+m(t)>0 for all t.

Passo 1

Beleza, o problema é sobre modulação em amplitude com supressão de portadora (DSB-SC) e detecção de envoltória.
Enunciado resumido:
(a) Queremos desenhar o sinal DSB-SC gerado por m(t)=cos (2π t), ou seja, m(t)·cos ωc t.
(b) Precisamos mostrar que, se a gente mandar esse sinal direto num detector de envoltória, o que sai não é m(t) mas |m(t)|; e, de forma geral, que mandando um AM clássico [A+m(t)] cos ωc t num detector de envoltória, o que aparece é |A+m(t)|. Daí dá pra ver que pra recuperar m(t) direitinho precisamos que A+m(t)>0 pra todo t.
O que vamos precisar: saber a definição de DSB-SC, entender que detector de envoltória “segue” o envelope absoluto do sinal de entrada, e ter noções básicas de produto de cossenos e valor absoluto.

Passo 2

Parte (a):
m(t)=cos(2π t). O DSB-SC é
s(t)=m(t)·cos(ωc t)=cos(2π t)·cos(ωc t).
Usando a identidade
cos acos b=tfrac12[cos(a+b)+cos(a-b)],
a gente vê que
s(t)=tfrac12cosl((omegac+2pi)tr)+tfrac12cosl((omegac-2pi)tr)
No domínio do tempo fica um sinal de alta frequência ωc cuja amplitude “oscila” como cos(2π t). Se fosse pra desenhar, você faz um trem de ondas rápidas, mas a amplitude vai subindo e descendo no ritmo de 1 Hz (cos 2π t).

Passo 3

Parte (b), primeiro caso DSB-SC puro:
Sinal de entrada no detector de envoltória é
x(t)=m(t)cos(omegac t)=cos(2pi t)cos(omegac t)
Teoria do detector de envoltória: ele “cola” o envelope absoluto do portador, isto é
envelope[x(t)]=|m(t)|,
porque, a cada instante, o detector segue o módulo da amplitude multiplicativa m(t). Logo, a saída é |cos(2π t)|, não cos(2π t).

Passo 4

Agora o caso geral de AM com portadora A:
s(t)=[A+m(t)]cos(omegac t)
De novo, o detector de envoltória só “vê” o valor absoluto dessa amplitude instantânea, então
saída=|A+m(t)| í
Se quisermos que isso seja exatamente A+m(t) (ou seja, sem o módulo), temos de garantir que A+m(t)>0 para todo t, pois aí o valor absoluto some e |A+m(t)|=A+m(t).

Resposta

(a) Sinal DSB-SC: cos(2π t)·cos(ωc t), um trem de ondas em ωc com amplitude variando em 1 Hz.
(b) Detector de envoltória entrega |m(t)| no caso DSB-SC puro e, de modo geral, |A+m(t)|. Pra recuperar m(t) sem distorção, precisa de A+m(t)>0 ∀t.

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