(a) Sketch the DSB-SC signal corresponding to
.
(b) This DSB-SC signal
is applied at the input of an envelope detector Show that the output of the envelope detector is not
, but
. Show that, in general, if an AM signal
is envelope-detected, the output is
. Hence, show that the condition for recovering
from the envelope detector is
for all
.
(b) This DSB-SC signal
Passo 1
Beleza, o problema é sobre modulação em amplitude com supressão de portadora (DSB-SC) e detecção de envoltória.
Enunciado resumido:
(a) Queremos desenhar o sinal DSB-SC gerado por m(t)=cos (2π t), ou seja, m(t)·cos ωc t.
(b) Precisamos mostrar que, se a gente mandar esse sinal direto num detector de envoltória, o que sai não é m(t) mas |m(t)|; e, de forma geral, que mandando um AM clássico [A+m(t)] cos ωc t num detector de envoltória, o que aparece é |A+m(t)|. Daí dá pra ver que pra recuperar m(t) direitinho precisamos que A+m(t)>0 pra todo t.
O que vamos precisar: saber a definição de DSB-SC, entender que detector de envoltória “segue” o envelope absoluto do sinal de entrada, e ter noções básicas de produto de cossenos e valor absoluto.
Enunciado resumido:
(a) Queremos desenhar o sinal DSB-SC gerado por m(t)=cos (2π t), ou seja, m(t)·cos ωc t.
(b) Precisamos mostrar que, se a gente mandar esse sinal direto num detector de envoltória, o que sai não é m(t) mas |m(t)|; e, de forma geral, que mandando um AM clássico [A+m(t)] cos ωc t num detector de envoltória, o que aparece é |A+m(t)|. Daí dá pra ver que pra recuperar m(t) direitinho precisamos que A+m(t)>0 pra todo t.
O que vamos precisar: saber a definição de DSB-SC, entender que detector de envoltória “segue” o envelope absoluto do sinal de entrada, e ter noções básicas de produto de cossenos e valor absoluto.
Passo 2
Parte (a):
m(t)=cos(2π t). O DSB-SC é
s(t)=m(t)·cos(ωc t)=cos(2π t)·cos(ωc t).
Usando a identidade
m(t)=cos(2π t). O DSB-SC é
s(t)=m(t)·cos(ωc t)=cos(2π t)·cos(ωc t).
Usando a identidade
a gente vê que
No domínio do tempo fica um sinal de alta frequência ωc cuja amplitude “oscila” como cos(2π t). Se fosse pra desenhar, você faz um trem de ondas rápidas, mas a amplitude vai subindo e descendo no ritmo de 1 Hz (cos 2π t).
Passo 3
Parte (b), primeiro caso DSB-SC puro:
Sinal de entrada no detector de envoltória é
Sinal de entrada no detector de envoltória é
Teoria do detector de envoltória: ele “cola” o envelope absoluto do portador, isto é
porque, a cada instante, o detector segue o módulo da amplitude multiplicativa m(t). Logo, a saída é |cos(2π t)|, não cos(2π t).
Passo 4
Agora o caso geral de AM com portadora A:
De novo, o detector de envoltória só “vê” o valor absoluto dessa amplitude instantânea, então
Se quisermos que isso seja exatamente A+m(t) (ou seja, sem o módulo), temos de garantir que A+m(t)>0 para todo t, pois aí o valor absoluto some e |A+m(t)|=A+m(t).
Resposta
(a) Sinal DSB-SC: cos(2π t)·cos(ωc t), um trem de ondas em ωc com amplitude variando em 1 Hz.
(b) Detector de envoltória entrega |m(t)| no caso DSB-SC puro e, de modo geral, |A+m(t)|. Pra recuperar m(t) sem distorção, precisa de A+m(t)>0 ∀t.
(b) Detector de envoltória entrega |m(t)| no caso DSB-SC puro e, de modo geral, |A+m(t)|. Pra recuperar m(t) sem distorção, precisa de A+m(t)>0 ∀t.