For each of the following baseband signals: (i) m(t)=cos 1000 t; (ii) m(t)=2 cos 1000 t+ cos 2000 t; (iii) m(t)=cos 1000 t cos 3000 t :
(d) Identify the frequencies in the baseband, and the corresponding frequencies in the DSB-SC, USB, and LSB spectra. Explain the nature of frequency shifting in each case.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (d) desse exercício de modulação.
Conteúdo: aqui a gente usa a propriedade de “shifting” de Fourier (multiplicar no tempo por uma portadora desloca o espectro no eixo de frequência).
O que precisamos:
  • Identificar as linhas espectrais do sinal baseband (antes da modulação).
  • Saber que, para DSB‐SC (multiplicação por cos(omegac t)), o espectro original em M(omega) gera cópias em omega = pmomegac pm omegabase.
  • Para USB (Banda Lateral Superior) só fica omegac + omegabase.
  • Para LSB (Banda Lateral Inferior) só fica omegac - omegabase.
A partir do passo 2 a gnt faz pra cada sinal.

Passo 2

Sinal (i):
m(t)=cos(1000,t)
– Baseband: linhas em omega = +1000 e omega = -1000 (rad/s).
  1. DSB‐SC: multiplica por cos(omegac t) → gera linhas em
    omega = +omegac pm 1000, omega = -omegac pm 1000
    Na prática, duas linhas perto de +omegac: uma em omegac+1000, outra em omegac-1000, e as simétricas em negativo.
  2. USB: a gente filtra para ficar só com a banda superior:
    omega = +omegac + 1000
  3. LSB: filtra só a banda inferior:
    omega = +omegac - 1000
Isso mostra o “shifting”: o conteúdo em pm1000 vai para volta de omegac.

Passo 3

Sinal (ii):
m(t)=2cos(1000,t)+cos(2000,t)
– Baseband: linhas em pm1000 (amplitude 2) e pm2000 (amplitude 1).
  1. DSB‐SC: cada linha gera cópia em pmomegacpm sua frequência. Logo, teremos 4 linhas positivas:
    omegacpm1000, omegacpm2000
    (e as correspondentes em negativo).
  2. USB: só deixamos
    omega = omegac+1000,;omegac+2000
  3. LSB: só deixamos
    omega = omegac-1000,;omegac-2000
Novamente, é simplesmente deslocamento das linhas originais.

Passo 4

Sinal (iii):
m(t)=cos(1000,t),cos(3000,t)
Primeiro, a gente lembra a identidade:
cos A,cos B = tfrac12[cos(A+B)+cos(A-B)]
Então
m(t)=tfrac12cos(4000,t)+tfrac12cos(2000,t)
– Baseband: linhas em pm2000 e pm4000, ambas com amplitude 1/2.
  1. DSB‐SC: cada linha desloca pra pmomegacpm2000 e pmomegacpm4000.
  2. USB: fica só
    omega = omegac+2000,;omegac+4000
  3. LSB: fica só
    omega = omegac-2000,;omegac-4000
O mecanismo é sempre o mesmo: multiplicar no tempo desloca o espectro no eixo de frequência.

Resposta

(i) Baseband: pm1000.
 DSB‐SC: omega=pm(omegacpm1000). USB: omegac+1000. LSB: omegac-1000.
(ii) Baseband: pm1000 (ampl 2), pm2000 (ampl 1).
 DSB‐SC: omega=pm(omegacpm1000),;pm(omegacpm2000).
 USB: omegac+1000,;omegac+2000.
 LSB: omegac-1000,;omegac-2000.
(iii) Baseband: pm2000,;pm4000 (cada ½).
 DSB‐SC: omega=pm(omegacpm2000),;pm(omegacpm4000).
 USB: omegac+2000,;omegac+4000.
 LSB: omegac-2000,;omegac-4000.
Em todos os casos a “mágica” é a propriedade de deslocamento de Fourier: m(t)cos(omegac t) → tira o espectro de m(t) e bota cópias centradas em pmomegac.

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