5 - Sob condições de forte resistência à difusão nos poros, a reação \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{R} ocorre a 700^{\circ} \mathrm{C} em um catalisador que se desativa, sendo a velocidade de reação dada por:
-r_{A}^{\prime}=0,030 C_{A} \cdot a\left(\frac{\mathrm{~mol}}{\mathrm{~g} \cdot \mathrm{~min}}\right)
A desativação do catalisador é causada pela forte absorção de impurezas da alimentação, levando a uma cinética dada por:
-\frac{d a}{d t}=3 a^{3}\left(\frac{1}{d i a}\right)
O reator do tipo leito fluidizado com 10 kg de catalisador é alimentado com 100 litros/min de reagente A puro a 8 atm e 700^{\circ} \mathrm{C}, até que a atividade do catalisador caia para 10 \% daquela do catalisador novo. Após chegar a esse estado, o leito é regenerado e o ciclo se repete.
a) Quanto tempo é necessário para que ocorra um ciclo completo?
b) Qual a conversão média alcançada após o término de um ciclo?

Passo 1

O enunciado descreve uma reação heterogênea \mathrm{A}\to\mathrm{R} num leito fluidizado usando 10 kg de catalisador, com cinética de reação poroso-limitada
-r_A' = 0{,}030\,C_A\,a
e desativação do catalisador dada por
-\frac{da}{dt} = 3\,a^3
O gás de alimentação é puro em A a 100,L/min, 8,atm e 700^\circC.
a) Calcular o tempo até a cair de 1 a 0{,}1.
b) Calcular a conversão média \overline X durante esse ciclo.

Passo 2

Integramos a cinética de desativação
\frac{da}{dt} = -3\,a^3.
Separamos variáveis e integramos de a=1 em t=0 até a em t:
\int_{1}^{a} a^{-3}\,da = -3\int_{0}^{t} dt \quad\Longrightarrow\quad \Bigl[-\frac{1}{2a^2}\Bigr]_{1}^{a} = -3t.
Isso dá
-\frac{1}{2a^2} + \frac{1}{2} = -3t \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{a^2}-1\Bigr) = 3t
\therefore t(a) = \frac{1}{6}\Bigl(\frac{1}{a^2}-1\Bigr).

Passo 3

Para a=0{,}1 temos
t_{\rm ciclo} = \frac{1}{6}\Bigl(\frac{1}{(0{,}1)^2}-1\Bigr) = \frac{1}{6}(100-1) = \frac{99}{6} = 16{,}5\\ \text{min}.

Passo 4

Tratando o leito fluidizado como CSTR em regime estacionário, o balanço de A é
F_{A0}X = M\,(-r'_A)
com M=10\,000 g, F_{A0}=100,L/min  \times C_{A0} e
C_{A0} = \frac{8\\ \text{atm}}{0{,}08206\\ \text{L·atm/mol·K}\times973\\ \text{K}} \approx0{,}1002\\ \mathrm{mol/L}.
Fazendo as contas obtém-se
X(a) = \frac{3\,a}{1+3\,a}.

Passo 5

Como a(t)=1/\sqrt{6t+1}, temos
X(t) = \frac{3/\sqrt{6t+1}}{1+3/\sqrt{6t+1}} = \frac{3}{\sqrt{6t+1}+3}.

Passo 6

A conversão média é
\overline X = \frac{1}{t_{\rm ciclo}} \int_{0}^{t_{\rm ciclo}} X(t)\,dt = \frac{1}{16{,}5}\int_{0}^{16{,}5}\frac{3}{\sqrt{6t+1}+3}\,dt.
Com a troca u=\sqrt{6t+1}, dt=\tfrac{u}{3}du, os limites vão de u(0)=1 a u(16{,}5)=10, e a integral vira
\int_{1}^{10}\frac{3}{u+3}\,\frac{u}{3}du = \int_{1}^{10}\frac{u}{u+3}du = \Bigl[u -3\ln(u+3)\Bigr]_{1}^{10} =9 -3\ln\Bigl(\tfrac{13}{4}\Bigr).
Logo
\overline X = \frac{9 -3\ln(13/4)}{16{,}5} \approx0{,}331 \quad(33{,}1\%).

Resposta

a) 16{,}5 min
b) 33{,}1\% de conversão média por ciclo.

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