Sob pressão de 3 atm , o volume de um gás ideal será 9 litros. Esse volume diminui para 1 litro quando o gás sofre um processo adiabático. Considere que o expoente de Poisson para esse gás seja \gamma=1,5.
a) Qual é a pressão final do gás?
b) Se a temperatura no estado inicial era 600 K , qual é o seu valor no estado final?
Responda:
c) Em qual dos “caminhos” é maior o trabalho realizado pelo gás? Calcule esses trabalhos.
d) Em qual dos “caminhos” é maior a quantidade de calor trocada pelo gás? Quanto valem essas quantidades de calor?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo pegado do enunciado):
  • Estado inicial:
    • pressão inicial \,P_1=3\\ \text{atm},
    • volume inicial \,V_1=9\\ \text{L},
    • temperatura inicial \,T_1=600\\ \text{K}.
  • Estado final (após um processo adiabático):
    • volume final \,V_2=1\\ \text{L}.
  • Constante adiabática (expoente de Poisson):
    • \,\gamma=1{,}5.
O enunciado pede:
(a) a pressão final \,P_2 no estado final adiabático;
(b) a temperatura final \,T_2 nesse estado;
(c) comparar o trabalho realizado pelo gás em dois “caminhos” e calcular esses trabalhos (vou comparar o caminho adiabático reversível com o caminho isotérmico reversível entre os mesmos volumes, que é a comparação padrão para ver como o trabalho depende do caminho);
(d) comparar e calcular as quantidades de calor trocadas nesses dois caminhos.

Passo 2

Entendendo e aplicando a lei adiabática (fórmula usada para a letra a).
Explicação didática da fórmula:
  • Em um processo adiabático reversível para gás ideal vale a lei de Poisson
P V^{\gamma}=\text{constante}.
Nessa expressão:
  • \,P é a pressão do gás em um estado qualquer,
  • \,V é o volume correspondente,
  • \,\gamma é o expoente de Poisson (relação entre capacidades térmicas),
  • “constante” significa que o produto \,P V^{\gamma} é o mesmo nos dois estados do processo adiabático.
Para obter \,P_2 isolamos:
P_2 = P_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma}.
Cálculo numérico:
\frac{V_1}{V_2}=\frac{9}{1}=9, \qquad 9^{\gamma}=9^{1{,}5}=9^{3/2}=(9^{1})\cdot(9^{1/2})=9\cdot3=27.
Portanto
P_2 = 3\cdot 27 = 81\\ \text{atm}.

Passo 3

Cálculo da temperatura final usando relação adiabática (letra b).
Explicação didática da fórmula:
  • Para um gás ideal, além de PV=nRT, em um processo adiabático reversível vale também
T V^{\gamma-1}=\text{constante}.
Ou seja, T_1 V_1^{\gamma-1}=T_2 V_2^{\gamma-1}. Aqui:
  • \,T é a temperatura absoluta (K),
  • \,\gamma-1 é o expoente que aparece porque a energia interna depende só de T.
Isolando T_2:
T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}.
Cálculo numérico:
\gamma-1 = 1{,}5 - 1 = 0{,}5, \qquad \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{0{,}5} = 9^{0{,}5} = \sqrt{9}=3.
Logo
T_2 = 600\cdot 3 = 1{,}800\\ \text{K}.
(Verificação alternativa: usando P_2V_2/(P_1V_1)=T_2/T_1 dá o mesmo resultado.)

Passo 4

Escolha dos “caminhos” para comparar o trabalho e o calor (letras c e d).
Justificativa e definição:
  • Entre dois estados com volumes dados, o trabalho realizado depende do caminho. A comparação mais comum é entre:
    1. o caminho adiabático reversível (o que o enunciado descreveu), e
    2. o caminho isotérmico reversível à temperatura inicial \,T_1 (manter T=600\\ \text{K} enquanto comprime de V_1 para V_2).
  • Vou calcular o trabalho e o calor para esses dois caminhos.
Primeiro, para o caminho isotérmico, a pressão varia conforme a Lei dos Gases Ideais:
P(V)=\frac{nRT_1}{V}.
Usando P_1V_1=nRT_1, a pressão final isotérmica será
P_{2,\text{iso}}=P_1\frac{V_1}{V_2}=3\cdot 9=27\\ \text{atm}.

Passo 5

Fórmulas para o trabalho em cada caminho e explicação (didática).
Isotérmico reversível:
  • Trabalho realizado pelo gás (definição usada: trabalho positivo quando o gás se expande) é
W_{\text{iso}}=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV = nRT_1\int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V} = nRT_1\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Usando nRT_1=P_1V_1 obtemos a forma prática
W_{\text{iso}} = P_1 V_1 \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Adiabático reversível:
  • Para processo adiabático reversível e ideal, integrando P=\text{const}\cdot V^{-\gamma},
W_{\text{adiab}}=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV = \frac{P_2V_2-P_1V_1}{1-\gamma}.
(Explicação curta: integrar P = P_1 V_1^{\gamma} V^{-\gamma} dá essa expressão; o denominador 1-\gamma aparece porque \int V^{-\gamma} dV = V^{1-\gamma}/(1-\gamma).)
Unidades práticas:
  • Vou calcular primeiro em \text{atm}\cdot\text{L} e depois converter para joules usando
1\\ \text{atm}\cdot\text{L} = 101{,}325\\ \text{J}.

Passo 6

Cálculo numérico dos trabalhos (passo a passo).
Dados úteis:
P_1V_1 = 3\cdot 9 = 27\\ \text{atm}\cdot\text{L}, \qquad P_{2,\text{adiab}}V_2 = P_2 V_2 = 81\cdot 1 = 81\\ \text{atm}\cdot\text{L}.
Isotérmico:
W_{\text{iso}} = P_1V_1\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = 27\ln\!\left(\frac{1}{9}\right) = 27\left(-\ln 9\right).
Sabendo \ln 9 \approx 2{,}197224577,
W_{\text{iso}} \approx 27\cdot(-2{,}197224577) \approx -59{,}324\\ \text{atm}\cdot\text{L}.
Convertendo para joules:
W_{\text{iso}} \approx -59{,}324\cdot 101{,}325 \approx -6{,}011\\ \text{J}.
Adiabático:
W_{\text{adiab}} = \frac{P_2V_2-P_1V_1}{1-\gamma} = \frac{81-27}{1-1{,}5} = \frac{54}{-0{,}5} = -108\\ \text{atm}\cdot\text{L}.
Convertendo para joules:
W_{\text{adiab}} \approx -108\cdot 101{,}325 \approx -10{,}943\\ \text{J}.
Comparação (interpretação física):
  • Numericamente -6{,}011\\ \text{J} > -10{,}943\\ \text{J}. Portanto, o trabalho realizado pelo gás é maior (isto é, menos negativo) no caminho isotérmico. Em palavras: ao comprimir isotermicamente alguma energia sai como calor para manter T constante, de modo que a pressão durante a compressão fica menor do que na adiabática para os mesmos volumes intermediários; por isso a magnitude do trabalho (no sentido negativo) é menor no isotérmico.

Passo 7

Cálculo das quantidades de calor trocadas em cada caminho (letra d) e interpretação.
Primeiro princípio (fórmula que ensinamos):
\Delta U = Q - W,
onde:
  • \Delta U é a variação da energia interna do gás,
  • Q é o calor transferido para o gás (positivo se entra calor),
  • W é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás faz trabalho).
Adiabático:
  • Por definição de adiabático, Q_{\text{adiab}}=0.
  • Consequentemente \Delta U_{\text{adiab}} = - W_{\text{adiab}} (ou seja, energia interna aumenta porque trabalho negativo foi feito pelo gás — foi feito trabalho sobre o gás).
Isotérmico (gás ideal):
  • Para gás ideal, U depende só de T. Em processo isotérmico T é constante, logo \Delta U_{\text{iso}}=0.
  • Aplicando a primeira lei: 0 = Q_{\text{iso}} - W_{\text{iso}}, então
Q_{\text{iso}} = W_{\text{iso}} \approx -6{,}011\\ \text{J}.
Interpretação: o calor trocado no isotérmico é negativo (sai do gás) e tem mesmo valor do trabalho (neste caso, porque \Delta U=0).
Comparação:
  • |Q_{\text{adiab}}| = 0 e |Q_{\text{iso}}| = 6{,}011\\ \text{J}. Logo a troca de calor é maior (em magnitude) no caminho isotérmico; no adiabático não há troca de calor.

Resposta

(a) P_2 = 81\\ \text{atm}
(b) T_2 = 1{,}800\\ \text{K}
(c) O trabalho realizado pelo gás é maior (isto é, menos negativo) no caminho isotérmico. W_{\text{isotérmico}} \approx -6{,}011\\ \text{J}é, W_{\text{adiabático}} \approx -10{,}943\\ \text{J}á
(d) A troca de calor é maior (em magnitude) no caminho isotérmico. Q_{\text{adiabático}} = 0á, Q_{\text{isotérmico}} \approx -6{,}011\\ \text{J}é

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