Sob pressão de 3 atm , o volume de um gás ideal será 9 litros. Esse volume diminui para 1 litro quando o gás sofre um processo adiabático. Considere que o expoente de Poisson para esse gás seja
.
a) Qual é a pressão final do gás?
b) Se a temperatura no estado inicial era 600 K , qual é o seu valor no estado final?
Responda:
c) Em qual dos “caminhos” é maior o trabalho realizado pelo gás? Calcule esses trabalhos.
d) Em qual dos “caminhos” é maior a quantidade de calor trocada pelo gás? Quanto valem essas quantidades de calor?
a) Qual é a pressão final do gás?
b) Se a temperatura no estado inicial era 600 K , qual é o seu valor no estado final?
Responda:
c) Em qual dos “caminhos” é maior o trabalho realizado pelo gás? Calcule esses trabalhos.
d) Em qual dos “caminhos” é maior a quantidade de calor trocada pelo gás? Quanto valem essas quantidades de calor?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo pegado do enunciado):
- Estado inicial:
- pressão inicial
, - volume inicial
, - temperatura inicial
.
- pressão inicial
- Estado final (após um processo adiabático):
- volume final
.
- volume final
- Constante adiabática (expoente de Poisson):
-
.
-
O enunciado pede:
(a) a pressão final no estado final adiabático;
(b) a temperatura final nesse estado;
(c) comparar o trabalho realizado pelo gás em dois “caminhos” e calcular esses trabalhos (vou comparar o caminho adiabático reversível com o caminho isotérmico reversível entre os mesmos volumes, que é a comparação padrão para ver como o trabalho depende do caminho);
(d) comparar e calcular as quantidades de calor trocadas nesses dois caminhos.
(a) a pressão final
(b) a temperatura final
(c) comparar o trabalho realizado pelo gás em dois “caminhos” e calcular esses trabalhos (vou comparar o caminho adiabático reversível com o caminho isotérmico reversível entre os mesmos volumes, que é a comparação padrão para ver como o trabalho depende do caminho);
(d) comparar e calcular as quantidades de calor trocadas nesses dois caminhos.
Passo 2
Entendendo e aplicando a lei adiabática (fórmula usada para a letra a).
Explicação didática da fórmula:
- Em um processo adiabático reversível para gás ideal vale a lei de Poisson
Nessa expressão:
-
é a pressão do gás em um estado qualquer, -
é o volume correspondente, -
é o expoente de Poisson (relação entre capacidades térmicas), - “constante” significa que o produto
é o mesmo nos dois estados do processo adiabático.
Para obter
isolamos:
Cálculo numérico:
Portanto
Passo 3
Cálculo da temperatura final usando relação adiabática (letra b).
Explicação didática da fórmula:
- Para um gás ideal, além de
, em um processo adiabático reversível vale também
Ou seja,
. Aqui:
-
é a temperatura absoluta (K), -
é o expoente que aparece porque a energia interna depende só de .
Isolando
:
Cálculo numérico:
Logo
(Verificação alternativa: usando
dá o mesmo resultado.)
Passo 4
Escolha dos “caminhos” para comparar o trabalho e o calor (letras c e d).
Justificativa e definição:
- Entre dois estados com volumes dados, o trabalho realizado depende do caminho. A comparação mais comum é entre:
- o caminho adiabático reversível (o que o enunciado descreveu), e
- o caminho isotérmico reversível à temperatura inicial
(manter enquanto comprime de para ).
- Vou calcular o trabalho e o calor para esses dois caminhos.
Primeiro, para o caminho isotérmico, a pressão varia conforme a Lei dos Gases Ideais:
Usando
, a pressão final isotérmica será
Passo 5
Fórmulas para o trabalho em cada caminho e explicação (didática).
Isotérmico reversível:
- Trabalho realizado pelo gás (definição usada: trabalho positivo quando o gás se expande) é
Usando
obtemos a forma prática
Adiabático reversível:
- Para processo adiabático reversível e ideal, integrando
,
(Explicação curta: integrar
dá essa expressão; o denominador
aparece porque
.)
Unidades práticas:
- Vou calcular primeiro em
e depois converter para joules usando
Passo 6
Cálculo numérico dos trabalhos (passo a passo).
Dados úteis:
Isotérmico:
Sabendo
,
Convertendo para joules:
Adiabático:
Convertendo para joules:
Comparação (interpretação física):
- Numericamente
. Portanto, o trabalho realizado pelo gás é maior (isto é, menos negativo) no caminho isotérmico. Em palavras: ao comprimir isotermicamente alguma energia sai como calor para manter constante, de modo que a pressão durante a compressão fica menor do que na adiabática para os mesmos volumes intermediários; por isso a magnitude do trabalho (no sentido negativo) é menor no isotérmico.
Passo 7
Cálculo das quantidades de calor trocadas em cada caminho (letra d) e interpretação.
Primeiro princípio (fórmula que ensinamos):
onde:
-
é a variação da energia interna do gás, -
é o calor transferido para o gás (positivo se entra calor), -
é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás faz trabalho).
Adiabático:
- Por definição de adiabático,
. - Consequentemente
(ou seja, energia interna aumenta porque trabalho negativo foi feito pelo gás — foi feito trabalho sobre o gás).
Isotérmico (gás ideal):
- Para gás ideal,
depende só de . Em processo isotérmico é constante, logo . - Aplicando a primeira lei:
, então
Interpretação: o calor trocado no isotérmico é negativo (sai do gás) e tem mesmo valor do trabalho (neste caso, porque
).
Comparação:
-
e . Logo a troca de calor é maior (em magnitude) no caminho isotérmico; no adiabático não há troca de calor.
Resposta
(a)
(b)
(c) O trabalho realizado pelo gás é maior (isto é, menos negativo) no caminho isotérmico.
,
(d) A troca de calor é maior (em magnitude) no caminho isotérmico.
,