Sobre cada vértice de um quadrado com aresta de 1,00 \mathrm{~cm} de comprimento foram fixadas 4 cabeças de alfinetes, todas com carga elétrica de \mathbf{+ 1 , 0 0} \boldsymbol{\mu} \mathbf{C}. Determinar a força eletrostática resultante na carga do vértice superior direito.

Passo 1

O enunciado pede a força eletrostática resultante sobre a carga localizada no vértice superior direito de um quadrado cujos quatro vértices estão ocupados por cargas idênticas. Dados fornecidos:
\text{aresta do quadrado } a = 1,00\\ \mathrm{cm},
\text{cada carga } q = +1,00\\ \mu\mathrm{C}.
Queremos a força resultante exercida nas carga do vértice superior direito por todas as outras três cargas. Nada mais foi pedido além da força resultante nesse vértice.

Passo 2

Relembre a Lei de Coulomb (para magnitudes): a força elétrica entre duas cargas puntuais é
F = k\frac{q_1 q_2}{r^2},
onde k é a constante eletrostática, q_1 e q_2 são as cargas e r é a distância entre elas. Aqui:
k = 8,988\times10^9\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}.
Importante: a força é vetorial; para cargas de mesmo sinal a interação é de repulsão (a força sobre uma carga aponta para longe da outra).

Passo 3

Escolhemos um sistema de coordenadas simples: coloque o quadrado com aresta a tal que os vértices sejam
(0,0),\quad (a,0),\quad (0,a),\quad (a,a).
A carga que investigamos está em (a,a). Converta unidades para o SI:
a = 1,00\\ \mathrm{cm} = 0,01\\ \mathrm{m},
q = 1,00\\ \mu\mathrm{C} = 1,00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
As três cargas que atuam sobre a carga em (a,a) estão em (a,0), (0,a) e (0,0).

Passo 4

Calcule a força causada por cada carga adjacente (em (a,0) e em (0,a)). A distância entre vértices adjacentes é a, então a magnitude é
F_{\text{adj}}=k\frac{q^2}{a^2}.
Calcule passo a passo:
q^2=(1,00\times10^{-6})^2=1,00\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2},
a^2=(0,01)^2=1,00\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2},
\frac{q^2}{a^2}= \frac{1,00\times10^{-12}}{1,00\times10^{-4}}=1,00\times10^{-8}.
Multiplicando por k:
F_{\text{adj}}=8,988\times10^9\times1,00\times10^{-8}=89,88\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcule a força causada pela carga oposta (em (0,0)). A distância diagonal é r=\sqrt{2}\,a, portanto
F_{\text{diag}}=k\frac{q^2}{r^2}=k\frac{q^2}{2a^2}=\frac{1}{2}k\frac{q^2}{a^2}=\frac{1}{2}F_{\text{adj}}.
Logo,
F_{\text{diag}}=\tfrac{1}{2}\times89,88=44,94\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Agora analise direções e componentes vetoriais. Todas as forças são de repulsão:
  • A carga em (a,0) está logo abaixo de (a,a); ela empurra a carga em (a,a) diretamente para cima: essa força contribui só para a componente y com magnitude F_{\text{adj}}=89,88\\ \mathrm{N}.
  • A carga em (0,a) está à esquerda; ela empurra a carga em (a,a) diretamente para a direita: essa força contribui só para a componente x com magnitude F_{\text{adj}}=89,88\\ \mathrm{N}.
  • A carga em (0,0) fica na diagonal inferior esquerda; ela empurra na direção do vetor (a,a) (do ponto (0,0) para (a,a)), ou seja, em 45^\circ com os eixos. Cada componente x e y dessa força vale
F_{\text{diag},x}=F_{\text{diag},y}=\frac{F_{\text{diag}}}{\sqrt{2}}.
Calcule numericamente:
\frac{F_{\text{diag}}}{\sqrt{2}}=\frac{44,94}{\sqrt{2}}=44,94\times\frac{1}{1,41421356}\approx31,78\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Some as componentes em x e y:
F_x = F_{\text{adj}}\\ (\text{de }(0,a)) + F_{\text{diag},x} = 89,88 + 31,78 = 121,66\\ \mathrm{N},
F_y = F_{\text{adj}}\\ (\text{de }(a,0)) + F_{\text{diag},y} = 89,88 + 31,78 = 121,66\\ \mathrm{N}.
Como F_x=F_y, a direção do vetor resultante é 45^\circ acima do eixo x. A magnitude resultante é
F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{2}\,F_x=\sqrt{2}\times121,66.
Calcule:
F\approx1,41421356\times121,66\approx172,05\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Resumo final em forma vetorial (componentes iguais) e direção:
\vec{F} = (121,66\,\hat{\imath} + 121,66\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{N},
|\vec{F}| \approx 172,05\\ \mathrm{N},\qquad \theta = 45^\circ\\ (\text{acima do eixo }+x).

Resposta

\vec{F} = (121,66\,\hat{\imath} + 121,66\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{N}\
|\vec{F}| = 172,05\\ \mathrm{N},\\ \theta = 45^\circ

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