Sobre uma mesa estão fixadas 2 cabeças de alfinetes, com cargas positivas de
e
, separadas por uma distância horizontal
. Ao longo da reta que passa por essas duas cargas deseja-se colocar uma terceira carga pontual negativa, de tal forma que ela permaneça em equilíbrio eletrostático. Determinar em que posição essa terceira carga deveria ser colocada.
Passo 1
O enunciado fornece:
as duas cargas pontuais positivas, fixas sobre uma mesa e separadas por uma distância horizontal
. Deseja-se colocar uma terceira carga pontual negativa (vou chamá-la de
, com
) ao longo da reta que passa por essas duas cargas, de modo que essa terceira carga fique em equilíbrio eletrostático (ou seja, a força resultante sobre ela deve ser nula).
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- As duas cargas fixas estão separadas por
. - As cargas fixas são positivas e conhecidas:
e . - A terceira carga é negativa, colocada sobre a mesma reta entre ou fora das cargas.
- Pede-se a posição (relativa às duas cargas) em que a terceira carga deve ser colocada para que a força resultante em cima dela seja zero.
Nenhuma outra informação (por exemplo o módulo de) foi dada; se for preciso, veremos que a posição que equilibra as forças não depende do módulo de .
Passo 2
Relembrando a lei que usamos (aula rápida de física): a força entre duas cargas puntiformes é dada pela Lei de Coulomb. Em módulo:
onde:
-
é o módulo da força elétrica entre as cargas; -
é a constante eletrostática (não precisamos do seu valor numérico aqui porque vai se cancelar); -
e são as cargas envolvidas (podem ser positivas ou negativas, o sinal determina atração ou repulsão); -
é a distância entre as cargas (sempre positiva no módulo).
Importante sobre direção/sinal: cargas de sinais opostos se atraem; cargas de mesmo sinal se repelem. A força total (vetorial) é a soma das forças individuais; para equilíbrio é necessário que a soma vetorial das forças sobre a carga colocada seja zero.
Passo 3
Análise qualitativa das possíveis posições:
- Se a carga negativa for colocada fora do segmento que liga
e (ou seja, à esquerda de ambas ou à direita de ambas), as duas cargas positivas vão atraí-la na mesma direção — então as forças não podem se anular (ficam no mesmo sentido). Logo, equilíbrio estático nessa geometria NÃO ocorre fora do segmento. - Portanto, a única região plausível é entre as duas cargas, isto é, em algum ponto do segmento que une
e . Nesse caso as duas atrações têm sentidos opostos e podem se igualar em módulo.
Passo 4
Escolho um sistema de coordenadas simples: coloco
em
e
em
. Seja a terceira carga
(negativa) em
, com
. As distâncias são:
As forças de módulo sobre
devido a cada carga, aplicando Coulomb, são:
Como
é negativa e
são positivas,
aponta para a esquerda (atração em direção a
) e
aponta para a direita (atração em direção a
). Para equilíbrio, os módulos devem ser iguais:
Passo 5
Escrevendo a igualdade e simplificando:
Cancelamos
(mesma constante dos dois lados) e também
(o módulo da carga colocada), porque aparecem multiplicando ambos os lados. Resta:
Tomando raiz quadrada dos dois lados (tudo positivo), obtemos:
Rearranjando:
Isolando
:
logo
Outra forma equivalente, útil para cálculos rápidos, é
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos fornecidos:
e
. Primeiro calcule a razão:
Logo
Usando a forma
:
Arredondando de forma prática para a prova, podemos escrever
.
Passo 7
Interpretação física (isso ajuda na prova): o ponto de equilíbrio fica entre as duas cargas e mais próximo da carga menor (
). Isso acontece porque
é maior, então seu puxão é mais forte; para equilibrar, o ponto precisa estar mais perto de
(a menor) de modo a aumentar a força que
exerce (força cresce quando a distância é menor).
Resposta
(posição medida a partir da carga
, ou seja, entre as cargas, mais próxima de
).