Sobre uma mesa estão fixadas 2 cabeças de alfinetes, com cargas positivas de 2,00 \cdot 10^{-10} \mathrm{C} e 3,00 \cdot 10^{-10} \mathrm{C}, separadas por uma distância horizontal \mathbf{D}. Ao longo da reta que passa por essas duas cargas deseja-se colocar uma terceira carga pontual negativa, de tal forma que ela permaneça em equilíbrio eletrostático. Determinar em que posição essa terceira carga deveria ser colocada.

Passo 1

O enunciado fornece:
q_1 = 2{,}00\cdot10^{-10}\,\mathrm{C}
q_2 = 3{,}00\cdot10^{-10}\,\mathrm{C}
as duas cargas pontuais positivas, fixas sobre uma mesa e separadas por uma distância horizontal \,D. Deseja-se colocar uma terceira carga pontual negativa (vou chamá-la de q, com q<0) ao longo da reta que passa por essas duas cargas, de modo que essa terceira carga fique em equilíbrio eletrostático (ou seja, a força resultante sobre ela deve ser nula).
Informações relevantes listadas:
  • As duas cargas fixas estão separadas por \,D.
  • As cargas fixas são positivas e conhecidas: \,q_1 e \,q_2.
  • A terceira carga é negativa, colocada sobre a mesma reta entre ou fora das cargas.
  • Pede-se a posição (relativa às duas cargas) em que a terceira carga deve ser colocada para que a força resultante em cima dela seja zero.
    Nenhuma outra informação (por exemplo o módulo de q) foi dada; se for preciso, veremos que a posição que equilibra as forças não depende do módulo de q.

Passo 2

Relembrando a lei que usamos (aula rápida de física): a força entre duas cargas puntiformes é dada pela Lei de Coulomb. Em módulo:
F = k\,\frac{|Q_1 Q_2|}{r^2}
onde:
  • F é o módulo da força elétrica entre as cargas;
  • k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática (não precisamos do seu valor numérico aqui porque vai se cancelar);
  • Q_1 e Q_2 são as cargas envolvidas (podem ser positivas ou negativas, o sinal determina atração ou repulsão);
  • r é a distância entre as cargas (sempre positiva no módulo).
Importante sobre direção/sinal: cargas de sinais opostos se atraem; cargas de mesmo sinal se repelem. A força total (vetorial) é a soma das forças individuais; para equilíbrio é necessário que a soma vetorial das forças sobre a carga colocada seja zero.

Passo 3

Análise qualitativa das possíveis posições:
  • Se a carga negativa for colocada fora do segmento que liga q_1 e q_2 (ou seja, à esquerda de ambas ou à direita de ambas), as duas cargas positivas vão atraí-la na mesma direção — então as forças não podem se anular (ficam no mesmo sentido). Logo, equilíbrio estático nessa geometria NÃO ocorre fora do segmento.
  • Portanto, a única região plausível é entre as duas cargas, isto é, em algum ponto do segmento que une q_1 e q_2. Nesse caso as duas atrações têm sentidos opostos e podem se igualar em módulo.

Passo 4

Escolho um sistema de coordenadas simples: coloco q_1 em x=0 e q_2 em x=D. Seja a terceira carga q (negativa) em x, com 0<x<D. As distâncias são:
\text{distância até }q_1 = x, \qquad \text{distância até }q_2 = D-x.âéâé
As forças de módulo sobre q devido a cada carga, aplicando Coulomb, são:
F_1 = k\,\frac{|q_1 q|}{x^2}, \qquad F_2 = k\,\frac{|q_2 q|}{(D-x)^2}.
Como q é negativa e q_1,q_2 são positivas, F_1 aponta para a esquerda (atração em direção a q_1) e F_2 aponta para a direita (atração em direção a q_2). Para equilíbrio, os módulos devem ser iguais:
F_1 = F_2.

Passo 5

Escrevendo a igualdade e simplificando:
k\,\frac{|q_1 q|}{x^2} = k\,\frac{|q_2 q|}{(D-x)^2}.
Cancelamos k (mesma constante dos dois lados) e também |q| (o módulo da carga colocada), porque aparecem multiplicando ambos os lados. Resta:
\frac{q_1}{x^2} = \frac{q_2}{(D-x)^2}.
Tomando raiz quadrada dos dois lados (tudo positivo), obtemos:
\frac{\sqrt{q_1}}{x} = \frac{\sqrt{q_2}}{D-x}.
Rearranjando:
\sqrt{q_1}\,(D-x) = \sqrt{q_2}\,x.
Isolando x:
D\sqrt{q_1} = x\big(\sqrt{q_1}+\sqrt{q_2}\big)
logo
x = \frac{D\sqrt{q_1}}{\sqrt{q_1}+\sqrt{q_2}}.
Outra forma equivalente, útil para cálculos rápidos, é
x = \frac{D}{1+\sqrt{q_2/q_1}}.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos fornecidos: \,q_1=2{,}00\cdot10^{-10}\,\mathrm{C} e \,q_2=3{,}00\cdot10^{-10}\,\mathrm{C}. Primeiro calcule a razão:
\frac{q_2}{q_1} = \frac{3{,}00\cdot10^{-10}}{2{,}00\cdot10^{-10}} = \frac{3}{2} = 1{,}5.
Logo
\sqrt{\frac{q_2}{q_1}} = \sqrt{1{,}5} \approx 1{,}22474487139.
Usando a forma x = \dfrac{D}{1+\sqrt{q_2/q_1}}:
x \approx \frac{D}{1 + 1{,}22474487139} = \frac{D}{2{,}22474487139} \approx 0{,}44948974278\,D.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos escrever x \approx 0{,}4495\,D.

Passo 7

Interpretação física (isso ajuda na prova): o ponto de equilíbrio fica entre as duas cargas e mais próximo da carga menor ( q_1). Isso acontece porque q_2 é maior, então seu puxão é mais forte; para equilibrar, o ponto precisa estar mais perto de q_1 (a menor) de modo a aumentar a força que q_1 exerce (força cresce quando a distância é menor).

Resposta

x = \frac{D}{1+\sqrt{q_2/q_1}} = \frac{D}{1+\sqrt{3/2}} \approx 0{,}44949\,D
(posição medida a partir da carga \,q_1=2{,}00\cdot10^{-10}\,\mathrm{C}, ou seja, entre as cargas, mais próxima de q_1).

Exercícios relacionados