Sobre o conjunto
considere a métrica usual induzida. Ache as seguintes bolas abertas:
(a)
;
(a)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com a métrica usual induzida (ou seja, a distância é a restrição da distância usual de
). Pede-se a bola aberta centrada em
com raio
, isto é
. As informações relevantes são: o centro é
, o raio é
e os pontos disponíveis para pertencer à bola são somente os de
.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de bola aberta numa métrica induzida. Numa métrica
, a bola aberta centrada em
com raio
é
Aqui a métrica é a usual em
, ou seja
, e por ser métrica induzida em
significa que tomamos exatamente os pontos de
que estão em
. Outra forma útil de ver é:
onde
é o intervalo aberto
em
.
Passo 3
Agora verificamos quais pontos de
satisfazem a desigualdade
.
-
Para
temos . Logo . -
Para
temos , portanto . Assim , então nenhum ponto de satisfaz .
Alternativamente, intersectando
com
vemos que a interseção é apenas
, porque
não contém nenhum ponto de
.
Passo 4
Concluímos que a única coisa dentro da bola
é o próprio ponto
. Empolgante: isso mostra que, na topologia induzida de
, o conjunto
é aberto (basta este raio menor que a distância até o próximo ponto de
, que é
).