Sobre o conjunto A=\{0\} \cup[1,2[ considere a métrica usual induzida. Ache as seguintes bolas abertas:
(a) B\left(0, \frac{1}{2}\right);

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\{0\}\cup[1,2[ com a métrica usual induzida (ou seja, a distância é a restrição da distância usual de \mathbb{R}). Pede-se a bola aberta centrada em 0 com raio \frac{1}{2}, isto é B\!\left(0,\tfrac{1}{2}\right). As informações relevantes são: o centro é 0, o raio é \tfrac{1}{2} e os pontos disponíveis para pertencer à bola são somente os de A.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de bola aberta numa métrica induzida. Numa métrica d, a bola aberta centrada em a com raio r>0 é
B(a,r)=\{x\in A \mid d(x,a)<r\}.
Aqui a métrica é a usual em \mathbb{R}, ou seja d(x,y)=|x-y|, e por ser métrica induzida em A significa que tomamos exatamente os pontos de \mathbb{R} que estão em A. Outra forma útil de ver é:
B_A(0,\tfrac{1}{2}) = \big(B_{\mathbb{R}}(0,\tfrac{1}{2})\big)\cap A,
onde B_{\mathbb{R}}(0,\tfrac{1}{2}) é o intervalo aberto (-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}) em \mathbb{R}.

Passo 3

Agora verificamos quais pontos de A satisfazem a desigualdade |x-0|<\tfrac{1}{2}.
  • Para x=0 temos |0-0|=0<\tfrac{1}{2}. Logo 0\in B\!\left(0,\tfrac{1}{2}\right).
  • Para x\in[1,2[ temos x\ge 1, portanto |x-0|=x\ge 1. Assim |x-0|\ge 1>\tfrac{1}{2}, então nenhum ponto de [1,2[ satisfaz |x-0|<\tfrac{1}{2}.
Alternativamente, intersectando (-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}) com A=\{0\}\cup[1,2[ vemos que a interseção é apenas \{0\}, porque (-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}) não contém nenhum ponto de [1,2[.

Passo 4

Concluímos que a única coisa dentro da bola B\!\left(0,\tfrac{1}{2}\right) é o próprio ponto 0. Empolgante: isso mostra que, na topologia induzida de A, o conjunto \{0\} é aberto (basta este raio menor que a distância até o próximo ponto de A, que é 1).

Resposta

\{0\}

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