[Questão 01] - (2.5 pts)

Em uma espécie marinha isolada, os nascimentos são produto da sorte (a espécie necessita para reproduzir-se de encontro fortuito de um macho e uma fêmea) enquanto que a morte é só devida a causas naturais (não há competência pelos recursos naturais pro sobreviver nem os membros da espécie eliminam-se entre si…). Logo é plausível afirma que
N^{\prime}(t)=a N^{2}(t)-b N(t) .
Mostre que este modelo implica que se N(0)<b / a então \lim _{t \rightarrow+\infty} N(t)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
N'(t)=a\,N^{2}(t)-b\,N(t)
e pede para mostrar que, se a condição inicial satisfaz N(0)<b/a, então
\lim_{t\to+\infty}N(t)=0.
Informações relevantes que vamos usar: a e b são constantes positivas (interpretadas como taxa de nascimento proporcional ao encontro e taxa de morte natural), N(t) é a população no tempo t, e a desigualdade inicial é N(0)<b/a. A meta é provar que a solução com essa condição inicial tende a 0 quando t\to+\infty.

Passo 2

Encontrar os pontos de equilíbrio (soluções constantes). Pontos de equilíbrio são valores N tais que N'=0. Então resolvemos
aN^{2}-bN=0.
Fatorando,
N(aN-b)=0,
logo os equilíbrios são N=0 e N=\dfrac{b}{a}. Intuição física: N=0 é extinção; N=b/a é uma população estacionária em que nascimentos e mortes se equilibram.

Passo 3

Analisar o sinal de N' dependendo de N. A expressão N'(t)=N(t)\bigl(aN(t)-b\bigr) tem o seguinte sinal quando N(t)>0:
  • Se 0<N(t)<\dfrac{b}{a}, então aN(t)-b<0, portanto N'(t)=N(t)(aN(t)-b)<0.
  • Se N(t)>\dfrac{b}{a}, então aN(t)-b>0, portanto N'(t)>0.
    Isto significa que, para soluções com valores entre 0 e \dfrac{b}{a}, a população está decrescendo; para valores acima de \dfrac{b}{a}, está crescendo.

Passo 4

Concluir monotonicidade e limites parciais. Como dado N(0)<\dfrac{b}{a} temos N(0)>0 (pressuposição física) e portanto, por continuidade da solução, N(t) permanece em (0,\tfrac{b}{a}) enquanto existir. Pelas observações do passo anterior, N'(t)<0 para todo t\ge0, então N(t) é estritamente decrescente. Além disso, N(t)>0 para todo t (não pode cruzar zero instantaneamente sem violar unicidade). Assim N(t) é uma função decrescente e limitada inferiormente por 0, portanto tem limite finito quando t\to+\infty. Denote esse limite por
L=\lim_{t\to+\infty}N(t),\qquad L\ge0.

Passo 5

Mostrar que o limite L é um ponto de equilíbrio. A função direita f(N)=N(aN-b) é contínua em N. Como N(t)\to L, segue que N'(t)=f(N(t))\to f(L). Mas também, porque N(t) converge, N'(t) deve tender a 0 (uma função monotônica que converge tem derivada que tende a zero no limite — aqui podemos argumentar mais diretamente: tomar limite na igualdade N'(t)=N(t)(aN(t)-b) e usar continuidade). Portanto
0=\lim_{t\to\infty}N'(t)=f(L)=L(aL-b).
Logo L satisfaz L(aL-b)=0, isto é, L é um equilíbrio: L\in\{0,\tfrac{b}{a}\}.

Passo 6

Eliminar a possibilidade L=\dfrac{b}{a}. Como N(t) é estritamente decrescente e N(0)<\dfrac{b}{a}, todos os valores N(t) ficam estritamente menores que \dfrac{b}{a}. Assim o limite L não pode ser \dfrac{b}{a} (um limite de uma sequência estritamente menor que um número não pode ser esse número, salvo se a sequência fosse crescente), portanto a única possibilidade restante é
L=0.
Isto mostra que \lim_{t\to+\infty}N(t)=0.

Passo 7

(Solução explícita — alternativa, para reforçar a intuição) Podemos também resolver separando variáveis para ver o decaimento explícito. Escrevemos
\frac{dN}{dt}=N(aN-b)\quad\Longrightarrow\quad\frac{dN}{N(aN-b)}=dt.
Fazendo frações parciais
\frac{1}{N(aN-b)}=-\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{N}+\frac{a}{b}\cdot\frac{1}{aN-b},
integramos ambos os lados e obtemos (após manipulação)
\ln\!\biggl(\frac{b-aN}{N}\biggr)=bt+C,
ou seja
\frac{b-aN}{N}=D e^{bt}\quad (D>0).
Dessa forma
N(t)=\frac{b}{\,a+De^{bt}\,}.
Para N(0)<\tfrac{b}{a} temos D>0, e como e^{bt}\to+\infty quando t\to+\infty, segue imediatamente que N(t)\to0. Esta solução explícita confirma o argumento qualitativo anterior.

Resposta

\displaystyle 0

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