[Questão 01] - (2.5 pts)
Em uma espécie marinha isolada, os nascimentos são produto da sorte (a espécie necessita para reproduzir-se de encontro fortuito de um macho e uma fêmea) enquanto que a morte é só devida a causas naturais (não há competência pelos recursos naturais pro sobreviver nem os membros da espécie eliminam-se entre si…). Logo é plausível afirma que
Mostre que este modelo implica que se
então
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para mostrar que, se a condição inicial satisfaz
, então
Informações relevantes que vamos usar:
e
são constantes positivas (interpretadas como taxa de nascimento proporcional ao encontro e taxa de morte natural),
é a população no tempo
, e a desigualdade inicial é
. A meta é provar que a solução com essa condição inicial tende a
quando
.
Passo 2
Encontrar os pontos de equilíbrio (soluções constantes). Pontos de equilíbrio são valores
tais que
. Então resolvemos
Fatorando,
logo os equilíbrios são
e
. Intuição física:
é extinção;
é uma população estacionária em que nascimentos e mortes se equilibram.
Passo 3
Analisar o sinal de
dependendo de
. A expressão
tem o seguinte sinal quando
:
- Se
, então , portanto . - Se
, então , portanto .
Isto significa que, para soluções com valores entree , a população está decrescendo; para valores acima de , está crescendo.
Passo 4
Concluir monotonicidade e limites parciais. Como dado
temos
(pressuposição física) e portanto, por continuidade da solução,
permanece em
enquanto existir. Pelas observações do passo anterior,
para todo
, então
é estritamente decrescente. Além disso,
para todo
(não pode cruzar zero instantaneamente sem violar unicidade). Assim
é uma função decrescente e limitada inferiormente por
, portanto tem limite finito quando
. Denote esse limite por
Passo 5
Mostrar que o limite
é um ponto de equilíbrio. A função direita
é contínua em
. Como
, segue que
. Mas também, porque
converge,
deve tender a
(uma função monotônica que converge tem derivada que tende a zero no limite — aqui podemos argumentar mais diretamente: tomar limite na igualdade
e usar continuidade). Portanto
Logo
satisfaz
, isto é,
é um equilíbrio:
.
Passo 6
Eliminar a possibilidade
. Como
é estritamente decrescente e
, todos os valores
ficam estritamente menores que
. Assim o limite
não pode ser
(um limite de uma sequência estritamente menor que um número não pode ser esse número, salvo se a sequência fosse crescente), portanto a única possibilidade restante é
Isto mostra que
.
Passo 7
(Solução explícita — alternativa, para reforçar a intuição) Podemos também resolver separando variáveis para ver o decaimento explícito. Escrevemos
Fazendo frações parciais
integramos ambos os lados e obtemos (após manipulação)
ou seja
Dessa forma
Para
temos
, e como
quando
, segue imediatamente que
. Esta solução explícita confirma o argumento qualitativo anterior.