Sobre a equação básica da estática dos fluidos (Teorema de Stevin) assinale a alternativa incorreta:
a) Pode ser deduzida a partir da análise do equilíbrio de forças de campo (peso) e de superfície (normais de pressão) atuantes num elemento infinitesimal de um fluido.
b) Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem que relaciona a variação de pressão com a variação de elevação e/ou profundidade no interior de um fluido.
c) Para fluidos incompressíveis (em sua maioria líquidos) resulta em expressões mais simples.
d) Para fluidos compressíveis (em sua maioria gases) resultam em expressões mais complexas.
e) Permite calcular diretamente a pressão absoluta no interior de um fluido (líquido ou gás) em função da elevação e/ou profundidade.

Passo 1

O enunciado pede: identificar a alternativa incorreta entre as opções (a) a (e) sobre a equação básica da estática dos fluidos (Teorema de Stevin).
As alternativas são exatamente:
a) Pode ser deduzida a partir da análise do equilíbrio de forças de campo (peso) e de superfície (normais de pressão) atuantes num elemento infinitesimal de um fluido.
b) Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem que relaciona a variação de pressão com a variação de elevação e/ou profundidade no interior de um fluido.
c) Para fluidos incompressíveis (em sua maioria líquidos) resulta em expressões mais simples.
d) Para fluidos compressíveis (em sua maioria gases) resultam em expressões mais complexas.
e) Permite calcular diretamente a pressão absoluta no interior de um fluido (líquido ou gás) em função da elevação e/ou profundidade.
Informações relevantes do enunciado: ele quer que a gente assinale a alternativa incorreta; partiremos da formulação matemática da estática de fluidos e do entendimento físico do que a equação fornece.

Passo 2

Vamos deduzir a equação gastando pouco suor: considere um pequeno elemento cilíndrico de fluido de área da base A e espessura \mathrm{d}z, alinhado verticalmente. Seja p(z) a pressão na face inferior e p(z+\mathrm{d}z) a pressão na face superior (aqui z é a elevação vertical, e tomamos z crescente para cima). As forças verticais são: força para cima da face inferior p(z)A, força para baixo da face superior p(z+\mathrm{d}z)A e o peso do elemento \rho g A\,\mathrm{d}z, onde \rho é a massa volumétrica local e g a aceleração da gravidade. Em equilíbrio vertical (soma de forças = 0):
p(z)A - p(z+\mathrm{d}z)A - \rho g A\,\mathrm{d}z = 0.
Dividindo por A e reordenando:
p(z+\mathrm{d}z)-p(z) = -\rho g\,\mathrm{d}z.
Tomando o limite \mathrm{d}z\to0 obtemos a forma diferencial:
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\rho g.
Essa é a equação fundamental da estática dos fluidos (Teorema de Stevin) em sua forma diferencial.

Passo 3

Interpretação da equação diferencial \displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\rho g: ela relaciona a taxa de variação da pressão com a variação vertical z. As variáveis são: p = pressão (função de z), \rho = massa volumétrica (pode depender de z e p se o fluido for compressível), g = gravidade (assumida constante aqui), z = elevação vertical. Observação sobre sinal: como \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\rho g e \rho g>0, isso diz que a pressão aumenta quando descemos (diminuímos z), o que faz sentido físico. Isso confirma que a alternativa (b) está correta porque a equação é realmente uma equação diferencial de primeira ordem que relaciona variação de pressão com variação de elevação/profundidade.

Passo 4

Caso incompressível (líquidos, aproximativamente \rho= constante): a equação fica muito simples porque \rho sai da derivada. Integramos entre duas elevações z_0 e z:
\int_{p(z_0)}^{p(z)} \mathrm{d}p = -\rho g \int_{z_0}^{z} \mathrm{d}z.
Isso leva a
p(z) = p(z_0) - \rho g (z - z_0).
Se escolhermos z_0 como a superfície livre (onde p(z_0)=p_{\text{ref}}, por ex. p_{\text{ref}}=p_{\text{atm}}) e definirmos profundidade h=z_0-z (positivo para baixo), obtemos a forma prática
p = p_{\text{ref}} + \rho g h.
Esse é o caso simples mencionado na alternativa (c), logo (c) está correta.

Passo 5

Caso compressível (gases, \rho varia com p e T): a equação diferencial continua válida em forma geral \displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\rho g, mas agora \rho não é constante e é necessário usar uma relação de estado (por exemplo a lei dos gases ideais) para fechar o problema. Para um gás ideal isoterma, a relação de estado é \displaystyle p=\rho R T (onde R é a constante específica do gás e T a temperatura absoluta). Substituindo \rho=\dfrac{p}{RT} em \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\rho g dá:
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\frac{p}{RT} g.
Isso é uma equação diferencial linear em p cuja solução é exponencial:
p(z) = p(z_0)\,\exp\!\left(-\frac{g(z-z_0)}{RT}\right).
Note que para um gás real e em situações não isotermas a expressão fica ainda mais complicada. Isso confirma que a alternativa (d) está correta: para fluidos compressíveis as expressões geralmente são mais complexas.

Passo 6

O que a equação realmente fornece: a equação diferencial fornece a variação da pressão com a elevação — ou seja, diferenças de pressão entre dois níveis. Para obter a pressão absoluta em um ponto é necessário conhecer uma condição de contorno (um valor de pressão em alguma referência, por exemplo a pressão na superfície livre p(z_0)=p_{\text{ref}}). Portanto a equação por si só NÃO dá automaticamente a pressão absoluta sem essa informação adicional. No caso de um líquido aberto, normalmente usamos p_{\text{ref}}=p_{\text{atm}} e então calculamos p por p=p_{\text{atm}}+\rho g h, mas repare: o conhecimento de p_{\text{atm}} veio de fora da equação (é condição de contorno). Logo a afirmação de que ela “permite calcular diretamente a pressão absoluta” (alternativa e) é enganosa/incorrecta no sentido estrito — ela permite calcular variações ou calcular a pressão absoluta somente se você souber a pressão em um nível de referência. Para gases você ainda precisa da distribuição de temperatura e da condição de contorno.

Passo 7

Analisando cada alternativa com o que foi apresentado:
a) correta — a equação é deduzida por equilíbrio de forças (fizemos isso no Passo 2).
b) correta — é uma equação diferencial de primeira ordem relacionando variação de p com variação de z.
c) correta — para incompressíveis ( \rho constante) resulta em expressão simples p=p_{\text{ref}}+\rho g h.
d) correta — para compressíveis ( \rho variável) necessita relação de estado e a solução é mais complexa (ex.: exponencial no caso isotérmico).
e) incorreta — a equação fornece variação de pressão e exige uma condição de contorno (pressão numa superfície de referência) para determinar a pressão absoluta; portanto não permite, isoladamente e “diretamente”, calcular a pressão absoluta sem essa informação externa.

Resposta

e)

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