Sobre o espaço P_{2} :
B=\{2 t+1,-t-1,3 t+4\} também não é base de P_{2}. É verdade? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial P_{2} (polinômios de grau no máximo 2) e a coleção de três polinômios
B=\{\,2t+1,\; -t-1,\; 3t+4\,\}.
A pergunta é: B é uma base de P_{2}? Deve-se responder “verdadeiro” ou “falso” e justificar.
Informações relevantes dadas:
  • Os elementos de B são os polinômios p_{1}(t)=2t+1, p_{2}(t)=-t-1 e p_{3}(t)=3t+4.
  • O espaço P_{2} é formado por polinômios \,a+bt+ct^{2} com coeficientes reais (ou do corpo subjacente) e tem dimensão 3 (informação útil que será usada na justificativa).

Passo 2

Lembrete/definição que vou usar (explicação didática simples):
  • Uma coleção de vetores forma uma base de um espaço vetorial se dois requisitos são satisfeitos simultaneamente: (i) são linearmente independentes; e (ii) geram (espalham) todo o espaço.
  • Para um espaço de dimensão 3 (como P_{2}), qualquer conjunto de exatamente 3 vetores é base se, e somente se, esses vetores forem linearmente independentes. Ou seja, basta testar independência linear.
  • Independência linear: vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=0
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Caso exista uma solução não-trivial (algum \alpha\neq 0), eles são linearmente dependentes e não formam base.

Passo 3

Vou escrever cada polinômio em B pelos seus coeficientes na base canónica \{1,t,t^{2}\}. Isso facilita fazer a verificação de dependência como um sistema linear de coeficientes.
  • Para p_{1}(t)=2t+1 os coeficientes são: constante 1, coeficiente de t igual a 2, coeficiente de t^{2} igual a 0. Representação em coordenadas:
p_{1}\equiv \begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Para p_{2}(t)=-t-1 os coeficientes são: constante -1, coeficiente de t -1, coeficiente de t^{2} 0. Assim
p_{2}\equiv \begin{pmatrix}-1\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Para p_{3}(t)=3t+4 os coeficientes são: constante 4, coeficiente de t 3, coeficiente de t^{2} 0. Assim
p_{3}\equiv \begin{pmatrix}4\\[2pt]3\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Observação: repare que todas as três coordenadas têm componente do t^{2} igual a 0. Vou explorar isso.]

Passo 4

Montar a equação de dependência linear geral:
\alpha_{1}p_{1}+\alpha_{2}p_{2}+\alpha_{3}p_{3}=0,
ou em coordenadas
\alpha_{1}\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix} +\alpha_{2}\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix} +\alpha_{3}\begin{pmatrix}4\\[2pt]3\\[2pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Isto gera o sistema de equações por componentes (cada linha corresponde a coeficiente de 1,t,t^{2}):
\begin{cases} \alpha_{1}-\alpha_{2}+4\alpha_{3}=0,\\[4pt] 2\alpha_{1}-\alpha_{2}+3\alpha_{3}=0,\\[4pt] 0\cdot\alpha_{1}+0\cdot\alpha_{2}+0\cdot\alpha_{3}=0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema (mostrando cada passo):
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos:
(2\alpha_{1}-\alpha_{2}+3\alpha_{3})-(\alpha_{1}-\alpha_{2}+4\alpha_{3})=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_{1}-\alpha_{3}=0.
Logo
\alpha_{1}=\alpha_{3}.
Substituindo \alpha_{1}=\alpha_{3} na primeira equação:
\alpha_{1}-\alpha_{2}+4\alpha_{1}=0 \quad\Longrightarrow\quad 5\alpha_{1}-\alpha_{2}=0,
logo
\alpha_{2}=5\alpha_{1}.
Portanto as soluções têm forma
(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})=(\alpha_{1},\,5\alpha_{1},\,\alpha_{1})=\alpha_{1}(1,5,1),
para qualquer \alpha_{1}\in\mathbb{R}. Em particular existe uma solução não-trivial (por exemplo, escolhendo \alpha_{1}=1 obtemos (1,5,1)\neq(0,0,0)).
Verificação rápida escrevendo a combinação polinomial (útil para a prova):
1\cdot(2t+1)+5\cdot(-t-1)+1\cdot(3t+4) =(2t+1)+(-5t-5)+(3t+4)=0.
Logo os três vetores são linearmente dependentes.

Passo 6

Concluir a partir do que já foi mostrado:
  • Encontramos relação linear não-trivial entre os elementos de B, então eles são linearmente dependentes.
  • Como B contém 3 vetores em P_{2} (espaço de dimensão 3), a dependência linear impede que B seja uma base (um conjunto de 3 vetores em espaço de dimensão 3 só é base se for independente).
  • Observação alternativa (mais curta para lembrar na prova): todos os polinômios de B têm coeficiente de t^{2} igual a 0, portanto pertencem ao subespaço dos polinômios de grau ≤1, que tem dimensão 2. Três vetores em um subespaço de dimensão 2 têm de ser linearmente dependentes.

Passo 7

Resposta final (curta e direta): não, B não é base de P_{2}, porque é linearmente dependente; explicação concreta: (2t+1)+5(-t-1)+(3t+4)=0.

Resposta

Não: B não é base de P_{2}.

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