Sobre o espaço P_{2} : B=\{2 t+1,-t-1,3 t+4\} também não é base de P_{2}. É verdade? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial P_{2} (polinômios de grau no máximo 2) e a coleção de três polinômios
B=\{\,2t+1,\; -t-1,\; 3t+4\,\}.
A pergunta é: B é uma base de P_{2}? Deve-se responder “verdadeiro” ou “falso” e justificar.
Informações relevantes dadas:
Os elementos de B são os polinômios p_{1}(t)=2t+1, p_{2}(t)=-t-1 e p_{3}(t)=3t+4.
O espaço P_{2} é formado por polinômios \,a+bt+ct^{2} com coeficientes reais (ou do corpo subjacente) e tem dimensão 3 (informação útil que será usada na justificativa).
Passo 2
Lembrete/definição que vou usar (explicação didática simples):
Uma coleção de vetores forma uma base de um espaço vetorial se dois requisitos são satisfeitos simultaneamente: (i) são linearmente independentes; e (ii) geram (espalham) todo o espaço.
Para um espaço de dimensão 3 (como P_{2}), qualquer conjunto de exatamente 3 vetores é base se, e somente se, esses vetores forem linearmente independentes. Ou seja, basta testar independência linear.
Independência linear: vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=0
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Caso exista uma solução não-trivial (algum \alpha\neq 0), eles são linearmente dependentes e não formam base.
Passo 3
Vou escrever cada polinômio em B pelos seus coeficientes na base canónica \{1,t,t^{2}\}. Isso facilita fazer a verificação de dependência como um sistema linear de coeficientes.
Para p_{1}(t)=2t+1 os coeficientes são: constante 1, coeficiente de t igual a 2, coeficiente de t^{2} igual a 0. Representação em coordenadas:
Encontramos relação linear não-trivial entre os elementos de B, então eles são linearmente dependentes.
Como B contém 3 vetores em P_{2} (espaço de dimensão 3), a dependência linear impede que B seja uma base (um conjunto de 3 vetores em espaço de dimensão 3 só é base se for independente).
Observação alternativa (mais curta para lembrar na prova): todos os polinômios de B têm coeficiente de t^{2} igual a 0, portanto pertencem ao subespaço dos polinômios de grau ≤1, que tem dimensão 2. Três vetores em um subespaço de dimensão 2 têm de ser linearmente dependentes.
Passo 7
Resposta final (curta e direta): não, B não é base de P_{2}, porque é linearmente dependente; explicação concreta: (2t+1)+5(-t-1)+(3t+4)=0.