Sobre o espaço P_{2} :
O conjunto A=\left\{t^{2}+2 t-1,2 t^{2}+3 t-2\right\}, com certeza, não é uma base para P_{2}. Você concorda com essa afirmação? Com qual argumento?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (apenas fatos, sem começar a resolver ainda).
O espaço é P_{2}, isto é, o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2.
O conjunto dado é A=\{\,t^{2}+2t-1,\;2t^{2}+3t-2\,\}.
A pergunta: concordo que “com certeza, não é uma base para P_{2}”? Se sim, qual é o argumento.
Passo 2
O que significa ser base — explicação didática e passo a passo.
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz dois requisitos ao mesmo tempo:
Geram o espaço (ou seja, o span do conjunto é todo o espaço).
São linearmente independentes (nenhum vetor do conjunto é combinação linear dos outros).
Uma consequência central (muito útil) é: todos os conjuntos que são base de um dado espaço vetorial têm o mesmo número de vetores; esse número é a dimensão do espaço. Ou seja, o número de vetores em qualquer base = dimensão do espaço.
No caso de P_{2}, é bem conhecido (e fácil de ver) que a dimensão é 3. Um exemplo de base usual é \{\,1,\;t,\;t^{2}\,\}, que tem exatamente 3 elementos. Então qualquer base de P_{2} deve ter exatamente 3 vetores.
Passo 3
Aplicando a ideia da dimensão ao conjunto A.
Como expliquei, \dim(P_{2})=3, então qualquer base de P_{2} precisa ter exatamente 3 vetores.
O conjunto A tem apenas 2 vetores (os dois polinômios listados).
Portanto, por contagem de elementos, A não pode ser uma base de P_{2}, porque não tem elementos suficientes para gerar um espaço de dimensão 3.
Passo 4
Vou reforçar a explicação mostrando que, no máximo, A gera um subespaço de dimensão \le 2 — isto ajuda a fixar a intuição.
Qualquer conjunto de 2 vetores gera um subespaço de dimensão no máximo 2. Assim o span(A) é um subespaço de dimensão \le 2, logo não pode ser todo P_{2} (que tem dimensão 3).
Passo 5
(passo opcional mas útil) Verificação rápida da independência linear entre os dois vetores — para que fique claro que o problema não é dependência, e sim falta de elementos.
Denote v_{1}=t^{2}+2t-1\) e \(v_{2}=2t^{2}+3t-2\).
- Para checar se são múltiplos (caso simples de dependência para dois vetores), compare: \(2v_{1}=2t^{2}+4t-2\), que tem coeficiente de \(t\) igual a \(4\), diferente de \(3\) em \(v_{2}\). Logo \(v_{2}\) não é múltiplo escalar de \(v_{1}\).
- Podemos também resolver \(\alpha v_{1}+\beta v_{2}=0\). Isso gera o sistema nas coordenadas (coeficientes de \(t^{2},t,1\)):
\[\begin{cases} \alpha + 2\beta = 0,\\[4pt] 2\alpha + 3\beta = 0,\\[4pt] -\alpha -2\beta = 0. \end{cases}Da primeira equação \alpha=-2\beta\]. Substituindo na segunda vem \(-4\beta+3\beta=-\beta=0, então \beta=0 e \alpha=0. Logo só a solução trivial existe, portanto v_{1} e v_{2} são linearmente independentes.
Conclusão deste passo: os dois vetores são independentes, então geram um subespaço de dimensão exatamente 2. Ainda assim isso não é suficiente para ser base de P_{2}.]
Passo 6
Contra-exemplo explícito (opcional) para mostrar que [A) não gera todo P_{2}.
Considere o polinômio p(t)=t^{2}. Se A gerasse todo P_{2}, existiriam \alpha,\beta tais que\alpha(t^{2}+2t-1)+\beta(2t^{2}+3t-2)=t^{2}.Igualando coeficientes obtemos o sistema\begin{cases} \alpha + 2\beta = 1,\\[4pt] 2\alpha + 3\beta = 0,\\[4pt] -\alpha -2\beta = 0. \end{cases}As equações 1 e 3 são contraditórias (\alpha+2\beta\] não pode ser simultaneamente \(1 e 0), logo não existem \alpha,\beta que façam a combinação dar t^{2}. Portanto t^{2}\notin span(A), ou seja, A não gera P_{2}.
Isso confirma de forma concreta o que a contagem da dimensão já indicava.]
Resposta
Sim. Porque \dim(P_{2})=3 e toda base de P_{2} deve ter exatamente 3 vetores, enquanto A tem apenas 2 elementos; portanto A não pode ser uma base de P_{2}.