Sobre uma mesa horizontal são colocadas três esferas de ferro, de raios 2,3 e 6 . Sabe-se que quaisquer duas esferas são tangentes externamente. Mostre que existe uma quarta esfera, tangente à mesa e às três esferas dadas, e calcule seu raio.
Passo 1
Temos três esferas de raios
,
e
apoiadas numa mesa (plano horizontal) e mutuamente tangentes. Vamos usar o Teorema de Descartes para esferas, que dá a relação entre as curvaturas (bends) de quatro superfícies esféricas mutuamente tangentes. A mesa é vista como uma “esfera” de raio infinito, isto é, sua curvatura é zero.
Passo 2
Definimos a curvatura de cada esfera por
onde
é o raio. Para a mesa
. Para as esferas dadas:
O Teorema de Descartes diz que, para quatro superfícies esféricas mutuamente tangentes,
Como
, isso simplifica para
A solução com sinal “+” dá uma
, i.e.\ uma esfera de raio finito encaixada junto às três esferas e à mesa.
Passo 3
Calculamos primeiro
Assim
O raio procurado é
Resposta
O raio da quarta esfera é