Sobre uma mesa horizontal são colocadas três esferas de ferro, de raios 2,3 e 6 . Sabe-se que quaisquer duas esferas são tangentes externamente. Mostre que existe uma quarta esfera, tangente à mesa e às três esferas dadas, e calcule seu raio.

Passo 1

Temos três esferas de raios \,2, \,3 e \,6 apoiadas numa mesa (plano horizontal) e mutuamente tangentes. Vamos usar o Teorema de Descartes para esferas, que dá a relação entre as curvaturas (bends) de quatro superfícies esféricas mutuamente tangentes. A mesa é vista como uma “esfera” de raio infinito, isto é, sua curvatura é zero.

Passo 2

Definimos a curvatura de cada esfera por
k_i = \frac{1}{r_i},
onde r_i é o raio. Para a mesa k_0=0. Para as esferas dadas:
k_1 = \frac{1}{2},\quad k_2 = \frac{1}{3},\quad k_3 = \frac{1}{6}.
O Teorema de Descartes diz que, para quatro superfícies esféricas mutuamente tangentes,
k_4 \;=\; k_0 + k_1 + k_2 + k_3 \;\pm\;2\sqrt{k_0k_1 + k_0k_2 + k_0k_3 + k_1k_2 + k_2k_3 + k_1k_3}.
Como k_0=0, isso simplifica para
k_4 = k_1+k_2+k_3 \pm 2\sqrt{k_1k_2 + k_2k_3 + k_1k_3}.
A solução com sinal “+” dá uma k_4>0, i.e.\ uma esfera de raio finito encaixada junto às três esferas e à mesa.

Passo 3

Calculamos primeiro
k_1 + k_2 + k_3 = \frac12 + \frac13 + \frac16 = 1,
k_1k_2 + k_2k_3 + k_1k_3 = \frac12\cdot\frac13 + \frac13\cdot\frac16 + \frac12\cdot\frac16 = \frac{1}{6} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{11}{36},
\sqrt{k_1k_2 + k_2k_3 + k_1k_3} = \frac{\sqrt{11}}{6}.
Assim
k_4 = 1 + 2\cdot\frac{\sqrt{11}}{6} = 1 + \frac{\sqrt{11}}{3} = \frac{3 + \sqrt{11}}{3}.
O raio procurado é
r_4 = \frac{1}{k_4} = \frac{3}{3 + \sqrt{11}}.

Resposta

O raio da quarta esfera é
r = \frac{3}{3 + \sqrt{11}}.

Exercícios relacionados