Sobre uma partícula age uma força dada por F=x^2 y x+ y^2 x y (em Newtons). Calcule o trabalho realizado por esta força desde (0,1) até (1,1) nos seguintes casos:
Ao longo da reta y=x,

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma partícula sujeita a um campo de força
vec F(x,y)=x^2y,hat x ;+;y^2x,hat y
e pede o trabalho dessa força ao longo da reta W=integralCvec Fcdotdvec r , do ponto inicial ao ponto final. Para resolver isso, vamos usar:
  1. Parametrização da curva – transformar e em função de um parâmetro .
  2. Cálculo do diferencial de deslocamento .
  3. A definição de trabalho em um campo variável:

Passo 2

Primeiro, parametrizamos a reta x(t)=t, y(t)=t, t varia de 0 a 1 . Uma escolha natural é
dvec r =l(dot x(t),hat x+dot y(t),hat yr),dt =(1,hat x+1,hat y),dt
(o que corresponde a ir de a – tipicamente é esse o trecho que “faz sentido” em ).
Então:

Passo 3

Agora escrevemos vec Fl(x(t),y(t)r) =l(t^2,t,hat x + t^2,t,hat yr) =(t^3,hat x + t^3,hat y) em função de vec Fcdotdvec r =(t^3,hat x + t^3,hat y)cdot(1,hat x+1,hat y),dt =(t^3+t^3),dt =2,t^3,dt :
O produto escalar é

Passo 4

Basta agora integrar de W =integral0^12,t^3,dt =2;l[tfract^44r]0^1 =2;cdottfrac14 =tfrac12 a :

Resposta

O trabalho realizado ao longo da reta boxedW=tfrac12 J de a é

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