Sobre uma partícula age uma força dada por F=x^2 y x+ y^2 x y (em Newtons). Calcule o trabalho realizado por esta força desde (0,1) até (1,1) nos seguintes casos:
Ao longo do arco de círculo x(t)=[1-cos t], y(t)=sin t com 0 <= t <= pi / 2.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede o trabalho
W=integralC vec Fcdot dvec r
para a força
vec F = x^2 y,hat x + y^2 x,hat y
indo do ponto x(t)=1-cos t, y(t)=sin t, tin[0,pi/2] até ao longo da curva
Isso cai na matéria de cálculo vetorial: trabalho como integral de linha . Vamos precisar parametrizar a curva, achar , montar e integrar.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a parametrização e seu diferencial:
vec r(t) = l(x(t),y(t)r) = l(1-cos t,;sin tr)
Então
dvec rdt = l(dot x(t),dot y(t)r) = l(sin t,;cos tr),
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dvec r = (sin t,dt),hat x + (cos t,dt),hat y

Passo 3

Agora substituímos x=1-cos t, y=sin t e vec F(t) = l[(1-cos t)^2sin tr]hat x + l[sin^2 t,(1-cos t)r]hat y em :
Então

Passo 4

O produto escalar é
vec Fcdot dvec r = (1-cos t)^2sin t;l(sin t,dtr) + sin^2 t,(1-cos t);l(cos t,dtr)
Fatorando vec Fcdot dvec r = l(1-cos tr)sin^2 t;l[(1-cos t)+cos tr],dt = (1-cos t)sin^2 t,dt

Passo 5

Agora integramos de W = integral0^pi/2(1-cos t)sin^2 t,dt = integral0^pi/2sin^2 t,dt ;-;integral0^pi/2cos tsin^2 t,dt a integral0^1 u^2,du = 13 :
W = pi4 - 13
  1. . Faço , , vai de a :
Juntando:

Resposta

boxedW = pi4 - 13 (Jou<=s)

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