1. Sobre uma partícula de massa 0,4 \mathrm{~kg} agem, simultaneamente, as forças \vec{F}_{1}=(2 \vec{i}-4 \vec{j}) N e \vec{F}_{2}=(3 \vec{i}+4 \vec{j}) N. Se a partícula estiver em repouso na origem, no instante t=0 \mathrm{~s}, determine, no instante t=6 \mathrm{~s} : a) o vetor posição da partícula e b) o vetor velocidade da partícula.
    R: a) \vec{r}(t=6 s)=\frac{1}{2} \vec{a} t^{2}=225 \hat{\imath} m ; b) \vec{v}(t=6 s)=\vec{a} t=75 \hat{\imath} \frac{m}{s}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma partícula de massa m=0{,}4\\ \mathrm{kg} sujeita às forças \vec{F}_1 = (2\,\hat{\imath}-4\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{N}
e \vec{F}_2 = (3\,\hat{\imath}+4\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{N}.
Ela parte do repouso na origem em t=0.
O conteúdo aqui é usar a segunda lei de Newton para achar a aceleração constante e depois aplicar as fórmulas de cinemática para movimento com aceleração constante.

Passo 2

Calculamos a resultante das forças somando vetor a vetor:
\vec{F}_{\text{res}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (2+3)\,\hat{\imath} + (-4+4)\,\hat{\jmath} = 5\,\hat{\imath} + 0\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Aplicamos a segunda lei de Newton \vec{F}_{\text{res}} = m\,\vec{a} para obter a aceleração:
\vec{a} = \frac{\vec{F}_{\text{res}}}{m} = \frac{5\,\hat{\imath}}{0{,}4} = 12{,}5\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Como a aceleração é constante e a partícula parte do repouso em t=0, as fórmulas de cinemática são
\vec{v}(t) = \vec{a}\,t, \qquad \vec{r}(t) = \tfrac12\,\vec{a}\,t^2.

Passo 5

Substituindo t=6\\ \mathrm{s} em \vec{v}(t):
\vec{v}(6) = 12{,}5\,\hat{\imath} \times 6 = 75\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Substituindo t=6\\ \mathrm{s} em \vec{r}(t):
\vec{r}(6) = \tfrac12 \times 12{,}5\,\hat{\imath} \times 6^2 = 6{,}25 \times 36\,\hat{\imath} = 225\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) \vec{r}(6\,\mathrm{s}) = 225\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m}.
b) \vec{v}(6\,\mathrm{s}) = 75\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m/s}.

Exercícios relacionados