Sobre o produto escalar, apresente:
b) sua interpretação geométrica.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Sobre o produto escalar, apresente sua interpretação geométrica.” Logo, estamos em Álgebra Vetorial e precisamos entender como o produto escalar de dois vetores se relaciona com ângulos e projeções no plano (ou no espaço). Para isso vamos usar:
  • A definição do produto escalar em termos de componentes e em termos de magnitude e cosseno.
  • A noção de ângulo entre vetores e projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, lembra da definição do produto escalar entre dois vetores acdot b ;=; a1 b1 + a2 b2 + dots + an bn e acdot b ;=; |a|;|b|;cos(theta) em :
Mas geometricamente a gente também tem a fórmula ligada ao ângulo entre eles:
onde:
  • é o comprimento (norma) de ,
  • é o comprimento de ,
  • é o ângulo entre e , medido de a .

Passo 3

Agora, o que isso significa no mundo das figuras?
  1. varia de a .
    • Se , , então : vetores “apontam na mesma direção”.
    • Se , , aí : vetores são ortogonais (perpendiculares).
    • Se , , o produto escalar fica negativo: vetores “apontam em direções diferentes” (ângulo obtuso).

Passo 4

Outra forma de enxergar: projeção de |projab| ;=; |b|;l|cos(theta)r| sobre acdotb =|a|;l(|b|cos(theta)r) =|a|;|projab| . A projeção de na direção de tem comprimento
e então
Ou seja, o produto escalar é “quanto contribui na direção de ”, multiplicado pelo tamanho de .

Passo 5

Resumindo a intuição geométrica:
  • Produto escalar grande e positivo → vetores alinhados quase no mesmo sentido.
  • Produto escalar zero → vetores perpendiculares.
  • Produto escalar negativo → vetores com ângulo obtuso, quase “apontando em sentidos opostos.”

Resposta

Geometricamente, o produto escalar mede o quanto os vetores estão “alinhados”: é o comprimento de um vetor vezes a projeção do outro na sua direção. Quando dá zero, eles são perpendiculares; se é positivo, formam ângulo agudo; se é negativo, ângulo obtuso.

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