Sobre o produto escalar, apresente:
b) sua interpretação geométrica.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: “Sobre o produto escalar, apresente sua interpretação geométrica.” Logo, estamos em Álgebra Vetorial e precisamos entender como o produto escalar de dois vetores se relaciona com ângulos e projeções no plano (ou no espaço). Para isso vamos usar:
A definição do produto escalar em termos de componentes e em termos de magnitude e cosseno.
A noção de ângulo entre vetores e projeção de um vetor sobre outro.
Passo 2
Primeiro, lembra da definição do produto escalar entre dois vetores e em :
Mas geometricamente a gente também tem a fórmula ligada ao ângulo entre eles:
onde:
é o comprimento (norma) de ,
é o comprimento de ,
é o ângulo entre e , medido de a .
Passo 3
Agora, o que isso significa no mundo das figuras?
varia de a .
Se , , então : vetores “apontam na mesma direção”.
Se , , aí : vetores são ortogonais (perpendiculares).
Se , , o produto escalar fica negativo: vetores “apontam em direções diferentes” (ângulo obtuso).
Passo 4
Outra forma de enxergar: projeção de sobre . A projeção de na direção de tem comprimento
e então
Ou seja, o produto escalar é “quanto contribui na direção de ”, multiplicado pelo tamanho de .
Passo 5
Resumindo a intuição geométrica:
Produto escalar grande e positivo → vetores alinhados quase no mesmo sentido.
Produto escalar zero → vetores perpendiculares.
Produto escalar negativo → vetores com ângulo obtuso, quase “apontando em sentidos opostos.”
Resposta
Geometricamente, o produto escalar mede o quanto os vetores estão “alinhados”: é o comprimento de um vetor vezes a projeção do outro na sua direção. Quando dá zero, eles são perpendiculares; se é positivo, formam ângulo agudo; se é negativo, ângulo obtuso.