Sobre os ternos pitagóricos,
Prove que não existe nenhum triângulo retângulo isósceles cujos lados são inteiros.

Passo 1

Vou listar claramente o que o problema dá e o que pede. O enunciado diz: provar que não existe triângulo retângulo isósceles cujos lados são inteiros.
Defino as variáveis (peguei estas notações do enunciado, adaptando para a prova):
  • Seja a\in\mathbb{Z}_{>0} o comprimento de cada cateto (os dois catetos são iguais, pois o triângulo é isósceles).
  • Seja c\in\mathbb{Z}_{>0} o comprimento da hipotenusa.
    O que precisamos provar: mostrar que não existem inteiros positivos a e c tais que o triângulo com catetos a,a e hipotenusa c seja retângulo (ou seja, que satisfaçam a relação de Pitágoras).

Passo 2

Escrevendo a relação de Pitágoras para os catetos iguais, temos:
a^{2}+a^{2}=c^{2}.
Somando os termos do lado esquerdo e simplificando,
2a^{2}=c^{2}.
Portanto a existência do triângulo inteiro isósceles-retângulo é equivalente à existência de inteiros positivos a,c satisfazendo \,2a^{2}=c^{2}.

Passo 3

Vou estudar paridades e restos quadráticos básicos, porque isso resolve parte do problema. Fato útil (explico por que vale): para qualquer inteiro n temos duas opções:
  • se n é par, escrevemos n=2k e então n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}, isto é, n^{2} é divisível por 4, ou seja n^{2}\equiv 0\pmod{4};
  • se n é ímpar, escrevemos n=2k+1 e então n^{2}=(2k+1)^{2}=4k(k+1)+1, que dá n^{2}\equiv 1\pmod{4}.
    Conclusão curta: todo quadrado inteiro é congruente com 0 ou 1 módulo 4.

Passo 4

Use essa observação em \,2a^{2}=c^{2}. Se a fosse ímpar então a^{2}\equiv 1\pmod{4} e multiplicando por 2 obtemos 2a^{2}\equiv 2\pmod{4}. Assim teríamos c^{2}\equiv 2\pmod{4}. Mas isso é impossível, porque um quadrado inteiro só pode ser 0 ou 1 módulo 4. Portanto a não pode ser ímpar; ou seja, a é par.

Passo 5

Como a é par, escrevemos a=2a_{1} com a_{1}\in\mathbb{Z}_{>0}. Substituindo em \,2a^{2}=c^{2} obtemos:
2(2a_{1})^{2}=c^{2}\quad\Rightarrow\quad 8a_{1}^{2}=c^{2}.
Da igualdade 8a_{1}^{2}=c^{2} vemos que c^{2} é par, logo c é par. Escrevendo c=2c_{1} com c_{1}\in\mathbb{Z}_{>0} e dividindo ambos os lados por 4 chegamos a
2a_{1}^{2}=c_{1}^{2}.
Note que agora (a_{1},c_{1}) é outro par de inteiros positivos que satisfaz a mesma equação original \,2x^{2}=y^{2}, mas com a_{1}=a/2, ou seja a_{1}<a.

Passo 6

Aplicando o passo anterior repetidas vezes (cada vez que encontramos uma solução (a,c) produzimos outra solução com o cateto reduzido pela metade), obteríamos uma sequência infinita de inteiros positivos estritamente decrescentes
a > a_{1} > a_{2} > a_{3} > \cdots,
o que é impossível porque não existe uma sequência infinita estritamente decrescente de inteiros positivos. Esse argumento chama-se método da descida infinita: a suposição de existência de uma solução produz sempre uma solução menor, levando à contradição. Portanto não existe nenhum par de inteiros positivos (a,c) satisfazendo \,2a^{2}=c^{2}.

Passo 7

(Síntese/alternativa curta usando máximo divisor comum.) Outra forma rápida: suponha que exista solução inteira e tome-a primitiva, isto é, divida a e c por \gcd(a,c) para obter \gcd(a,c)=1. Da equação \,2a^{2}=c^{2} vem que c^{2} é par, logo c é par; mas então a também é par (pela equação), contradizendo \gcd(a,c)=1. Logo não há solução primitiva e, portanto, nenhuma solução inteira positiva existe. (Essa versão usa propriedades de divisibilidade em vez de descida.)

Resposta

Não existe triângulo retângulo isósceles cujos lados sejam inteiros.

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