Sobre os ternos pitagóricos,
Prove que não existe nenhum triângulo retângulo isósceles cujos lados são inteiros.
Prove que não existe nenhum triângulo retângulo isósceles cujos lados são inteiros.
Passo 1
Vou listar claramente o que o problema dá e o que pede. O enunciado diz: provar que não existe triângulo retângulo isósceles cujos lados são inteiros.
Defino as variáveis (peguei estas notações do enunciado, adaptando para a prova):
Defino as variáveis (peguei estas notações do enunciado, adaptando para a prova):
- Seja
o comprimento de cada cateto (os dois catetos são iguais, pois o triângulo é isósceles). - Seja
o comprimento da hipotenusa.
O que precisamos provar: mostrar que não existem inteiros positivose tais que o triângulo com catetos e hipotenusa seja retângulo (ou seja, que satisfaçam a relação de Pitágoras).
Passo 2
Escrevendo a relação de Pitágoras para os catetos iguais, temos:
Somando os termos do lado esquerdo e simplificando,
Portanto a existência do triângulo inteiro isósceles-retângulo é equivalente à existência de inteiros positivos
satisfazendo
.
Passo 3
Vou estudar paridades e restos quadráticos básicos, porque isso resolve parte do problema. Fato útil (explico por que vale): para qualquer inteiro
temos duas opções:
- se
é par, escrevemos e então , isto é, é divisível por , ou seja ; - se
é ímpar, escrevemos e então , que dá .
Conclusão curta: todo quadrado inteiro é congruente comou módulo .
Passo 4
Use essa observação em
. Se
fosse ímpar então
e multiplicando por
obtemos
. Assim teríamos
. Mas isso é impossível, porque um quadrado inteiro só pode ser
ou
módulo
. Portanto
não pode ser ímpar; ou seja,
é par.
Passo 5
Como
é par, escrevemos
com
. Substituindo em
obtemos:
Da igualdade
vemos que
é par, logo
é par. Escrevendo
com
e dividindo ambos os lados por
chegamos a
Note que agora
é outro par de inteiros positivos que satisfaz a mesma equação original
, mas com
, ou seja
.
Passo 6
Aplicando o passo anterior repetidas vezes (cada vez que encontramos uma solução
produzimos outra solução com o cateto reduzido pela metade), obteríamos uma sequência infinita de inteiros positivos estritamente decrescentes
o que é impossível porque não existe uma sequência infinita estritamente decrescente de inteiros positivos. Esse argumento chama-se método da descida infinita: a suposição de existência de uma solução produz sempre uma solução menor, levando à contradição. Portanto não existe nenhum par de inteiros positivos
satisfazendo
.
Passo 7
(Síntese/alternativa curta usando máximo divisor comum.) Outra forma rápida: suponha que exista solução inteira e tome-a primitiva, isto é, divida
e
por
para obter
. Da equação
vem que
é par, logo
é par; mas então
também é par (pela equação), contradizendo
. Logo não há solução primitiva e, portanto, nenhuma solução inteira positiva existe. (Essa versão usa propriedades de divisibilidade em vez de descida.)
Resposta
Não existe triângulo retângulo isósceles cujos lados sejam inteiros.