O Sumário Eudemiano dá conta de que, à época de Pitágoras, havia três médias, a aritmética, a geométrica e a subcontrária, sendo o último nome mudado mais tarde por Arquitas e Hipaso para harmônica. Definem-se essas três médias para dois números positivos
e
como
respectivamente.
Mostre que
. Esta era conhecida como proporção “musical”.
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá dois números positivos
e
e define as três médias:
A tarefa é mostrar a proporção musical
ou seja, demonstrar que a razão entre
e
é igual à razão entre
e
.
Passo 2
Vou explicar o que significa a notação de proporção usada: a afirmação
é equivalente à igualdade de frações
Também, multiplicando em cruz (cross-multiplication), essa igualdade de frações é equivalente à igualdade
Essas transformações são regras básicas de frações: dividir por um número é multiplicar pelo seu inverso, e se
então
.
Passo 3
Calculemos
substituindo a definição de
. Lembre-se que dividir por uma fração é multiplicar pelo recíproco.
Aqui cada passo é: escrever
como
, inverter essa fração e multiplicar por
.
Passo 4
Agora calculemos
substituindo a definição de
.
Simplificando a fator
no numerador e denominador:
Passo 5
Comparando os resultados dos passos anteriores, obtemos
Portanto
, que é exatamente a proporção desejada
.
(Opcional: verificação alternativa multiplicando em cruz)
logo
, que é a mesma afirmação reescrita.
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia. Tome
e
. Então
Calculando as razões:
As duas razões coincidem, confirmando a proporção musical no exemplo.