O Sumário Eudemiano dá conta de que, à época de Pitágoras, havia três médias, a aritmética, a geométrica e a subcontrária, sendo o último nome mudado mais tarde por Arquitas e Hipaso para harmônica. Definem-se essas três médias para dois números positivos a e b como
A=\frac{a+b}{2}, \quad G=\sqrt{a b}, \quad H=\frac{2 a b}{a+b},
respectivamente.
Mostre que a: A=H: b. Esta era conhecida como proporção “musical”.

Passo 1

O enunciado dá dois números positivos \,a e \,b e define as três médias:
A=\frac{a+b}{2},\qquad G=\sqrt{ab},\qquad H=\frac{2ab}{a+b}.
A tarefa é mostrar a proporção musical
a : A = H : b,
ou seja, demonstrar que a razão entre a e A é igual à razão entre H e b.

Passo 2

Vou explicar o que significa a notação de proporção usada: a afirmação a : A = H : b é equivalente à igualdade de frações
\frac{a}{A}=\frac{H}{b}.
Também, multiplicando em cruz (cross-multiplication), essa igualdade de frações é equivalente à igualdade
a\cdot b = A\cdot H.
Essas transformações são regras básicas de frações: dividir por um número é multiplicar pelo seu inverso, e se \dfrac{x}{y}=\dfrac{u}{v} então xv=yu.

Passo 3

Calculemos \dfrac{a}{A} substituindo a definição de A. Lembre-se que dividir por uma fração é multiplicar pelo recíproco.
\frac{a}{A}=\frac{a}{\dfrac{a+b}{2}}=a\cdot\frac{2}{a+b}=\frac{2a}{a+b}.
Aqui cada passo é: escrever A como (a+b)/2, inverter essa fração e multiplicar por a.

Passo 4

Agora calculemos \dfrac{H}{b} substituindo a definição de H.
\frac{H}{b}=\frac{\dfrac{2ab}{a+b}}{b}=\frac{2ab}{(a+b)\,b}.
Simplificando a fator b no numerador e denominador:
\frac{2ab}{(a+b)\,b}=\frac{2a}{a+b}.

Passo 5

Comparando os resultados dos passos anteriores, obtemos
\frac{a}{A}=\frac{2a}{a+b}=\frac{H}{b}.
Portanto \dfrac{a}{A}=\dfrac{H}{b}, que é exatamente a proporção desejada a : A = H : b.
(Opcional: verificação alternativa multiplicando em cruz)
A\cdot H=\frac{a+b}{2}\cdot\frac{2ab}{a+b}=ab,
logo a b = A H, que é a mesma afirmação reescrita.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia. Tome a=2 e b=8. Então
A=\frac{2+8}{2}=5,\qquad H=\frac{2\cdot2\cdot8}{2+8}=\frac{32}{10}=3{,}2.
Calculando as razões:
\frac{a}{A}=\frac{2}{5}=0{,}4,\qquad \frac{H}{b}=\frac{3{,}2}{8}=0{,}4.
As duas razões coincidem, confirmando a proporção musical no exemplo.

Resposta

\displaystyle a:A=H:b

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