Sobre os tipos de sistemas de 2^a ordem abaixo, usando frações parciais, mostre que:
A resposta ao degrau unitário do sistema sobre-amortecido é:
y(t)=K[1+omegan^2p1-p2(1p1 e^-p1 t-1p2 e^-p2 t)]

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é mostrar que, para um sistema de segunda ordem superamortecido (ou seja, com duas raízes reais diferentes y(t) = Kgl[1+omegan^2p1-p2l(1p1e^-p1t-1p2e^-p2tr)gr] e ), a resposta ao degrau unitário é
[
y(t)

K\Biggl[1+\frac{\omega_{n}{2}}{p_{1}-p_{2}}\Bigl(\frac{1}{p_{1}}e{-p_{1}t}-\frac{1}{p_{2}}e^{-p_{2}t}\Bigr)\Biggr].
]
O conteúdo envolvido é Transformada de Laplace e frações parciais. Vamos precisar:
  1. Escrever .
  2. Fazer a decomposição em frações parciais.
  3. Inverter a Laplace pra chegar em .

Passo 2

Primeiro, a função de transferência do sistema é
G(s)=K,omegan^2(s+p1)(s+p2)
Como a entrada é degrau unitário, Y(s)=G(s),1s =K,omegan^2s,(s+p1)(s+p2) , então
K,omegan^2s,(s+p1)(s+p2) =As+Bs+p1+Cs+p2
Pra inverter, a gente faz frações parciais:
K,omegan^2 = A,(s+p1)(s+p2) + B,s,(s+p2) + C,s,(s+p1)
Multiplicando pelos denominadores comuns:

Passo 3

Agora achamos K,omegan^2 = A,p1,p2 ;Longrightarrow; A=K,omegan^2p1 p2 =K,omegan^2omegan^2 =K “na unha”:
  • Para K,omegan^2 = B,(-p1),( -p1 + p2) =-B,p1,(p2-p1) ;Longrightarrow; B=K,omegan^2-p1(p2-p1) =K,omegan^2p1(p1-p2) : K,omegan^2 = C,(-p2),( -p2 + p1) =-C,p2,(p1-p2) ;Longrightarrow; C=K,omegan^2p2(p2-p1) =K,omegan^2p2(p1-p2) (usei , fórmula do sistema de 2ª ordem.)
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Então
Y(s)=Ks +K,omegan^2p1(p1-p2);1s+p1 +K,omegan^2p2(p1-p2);1s+p2
Invertendo a Laplace (sabendo que y(t) =K +K,omegan^2p1(p1-p2),e^-p1t +K,omegan^2p2(p1-p2),e^-p2t e ):
Bastam umas mudanças de forma pra agrupar e chegar no formato pedido.

Resposta

boxed% y(t)=Kgl[1+omegan^2p1-p2l(tfrac1p1e^-p1t-tfrac1p2e^-p2tr)gr]

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