Sobre os tipos de sistemas de
ordem abaixo, usando frações parciais, mostre que:
A resposta ao degrau unitário do sistema sobre-amortecido é:
A resposta ao degrau unitário do sistema sobre-amortecido é:
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é mostrar que, para um sistema de segunda ordem superamortecido (ou seja, com duas raízes reais diferentes
e
), a resposta ao degrau unitário é
[
y(t)
K\Biggl[1+\frac{\omega_{n}{2}}{p_{1}-p_{2}}\Bigl(\frac{1}{p_{1}}e{-p_{1}t}-\frac{1}{p_{2}}e^{-p_{2}t}\Bigr)\Biggr].
]
]
O conteúdo envolvido é Transformada de Laplace e frações parciais. Vamos precisar:
- Escrever
. - Fazer a decomposição em frações parciais.
- Inverter a Laplace pra chegar em
.
Passo 2
Primeiro, a função de transferência do sistema é
Como a entrada é degrau unitário,
, então
Pra inverter, a gente faz frações parciais:
Multiplicando pelos denominadores comuns:
Passo 3
Agora achamos
“na unha”:
- Para
: (usei , fórmula do sistema de 2ª ordem.) - Para
: - Para
:
Passo 4
Então
Invertendo a Laplace (sabendo que
e
):
Bastam umas mudanças de forma pra agrupar e chegar no formato pedido.