Sobre os tipos de sistemas de 2^a ordem abaixo, usando frações parciais, mostre que:
A resposta ao degrau unitário do sistema subamortecido é:
y(t)=K[1-e^-xi omegan t(xiraiz1-xi^2 sen(omegad t)+cos (omegad t))]

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente mostrar que a resposta ao degrau unitário de um sistema de 2ª ordem subamortecido
G(s)=K,omegan^2s^2+2xiomegan s+omegan^2
é
Conteúdo da matéria: transformada de Laplace, frações parciais e inversão de Laplace pra obter a resposta no tempo.

Passo 2

Primeiro, montamos a função de Laplace da saída para um degrau unitário:
Y(s)=G(s)cdot1s=K,omegan^2sl(s^2+2xiomegan s+omegan^2r)
A ideia é escrever isso como soma de termos mais simples (frações parciais) e depois usar tabelinha de inversão de Laplace.

Passo 3

Fazemos a decomposição:
K,omegan^2s(s^2+2xiomegan s+omegan^2)=As+B,s+Cs^2+2xiomegan s+omegan^2
Multiplicando tudo pelo denominador comum e comparando coeficientes em s^2, s e termo constante, obtemos:
1) Coeficiente de s^2: A+B=0.
2) Coeficiente de s: 2A,xiomegan + C=0.
3) Termo constante: A,omegan^2 = K,omegan^2.
Daí sai direto: A=K, B=-K e C=-2K,xiomegan.

Passo 4

Então
Y(s)=Ks ;-;K,s+2K,xiomegans^2+2xiomegan s+omegan^2
Reescreve o denominador na forma canônica:
s^2+2xiomegan s+omegan^2 = (s+xiomegan)^2 + omegad^2, omegad=omeganraiz1-xi^2

Passo 5

Agora separamos o numerador pra usar as fórmulas:
-,K(s+2xiomegan)(s+xiomegan)^2+omegad^2 =-Ks+xiomegan(s+xiomegan)^2+omegad^2 ;-;K,xiomegan(s+xiomegan)^2+omegad^2
Aplicando inversão de Laplace (sabendo que
L^-1tfracs+a(s+a)^2+b^2=e^-atcos(bt)
e
) a gente obtém:

Resposta

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