Sobre os tipos de sistemas de
ordem abaixo, usando frações parciais, mostre que:
A resposta ao degrau unitário do sistema criticamente amortecido é:
A resposta ao degrau unitário do sistema criticamente amortecido é:
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente mostre, usando frações parciais, que a resposta ao degrau unitário de um sistema de segunda ordem criticamente amortecido é
Aqui o conteúdo principal é Transformada de Laplace e Expansão em Frações Parciais para inverter lá pra o domínio do tempo. Vamos precisar:
- A função de transferência do sistema criticamente amortecido.
- Multiplicar pelo 1/s (degrau unitário).
- Fazer frações parciais em
. - Inverter Laplace termo a termo.
Passo 2
Primeiro, a função de transferência geral de um sistema de 2ª ordem é
Criticamente amortecido significa
, então o denominador fica
. Logo:
Como a entrada é um degrau unitário
, a saída em Laplace é
Passo 3
Agora a gente quer fazer expansão em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Para achar
, podemos usar “sacos de alicate” (colocar valores especiais) ou comparar coeficientes:
- Tomando
:
- Tomando
:
- Para
, usamos coeficiente de . No lado direito, o termo em é . Como o lado esquerdo não tem ,
Passo 5
Então a expansão ficou
Agora inverter Laplace usando tabelinha básica:
-
, -
, -
.
Logo
Basta reorganizar.