Sobre os tipos de sistemas de 2^a ordem abaixo, usando frações parciais, mostre que:
A resposta ao degrau unitário do sistema criticamente amortecido é:
y(t)=K[1-e^-omegan t(omegan t+1)]

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente mostre, usando frações parciais, que a resposta ao degrau unitário de um sistema de segunda ordem criticamente amortecido é
y(t)=Kl[1 - e^-omegan t(omegan t + 1)r],
Aqui o conteúdo principal é Transformada de Laplace e Expansão em Frações Parciais para inverter lá pra o domínio do tempo. Vamos precisar:
  1. A função de transferência do sistema criticamente amortecido.
  2. Multiplicar pelo 1/s (degrau unitário).
  3. Fazer frações parciais em .
  4. Inverter Laplace termo a termo.

Passo 2

Primeiro, a função de transferência geral de um sistema de 2ª ordem é
G(s) ;=; K,omegan^2s^2 + 2zeta,omegan s + omegan^2
Criticamente amortecido significa G(s) = K,omegan^2(s+omegan)^2 , então o denominador fica Y(s) ;=; G(s),1s ;=; K,omegan^2s,(s+omegan)^2 . Logo:
Como a entrada é um degrau unitário , a saída em Laplace é

Passo 3

Agora a gente quer fazer expansão em frações parciais:
K,omegan^2s,(s+omegan)^2 ;=; As + Bs+omegan + C(s+omegan)^2
Multiplicando ambos os lados por K,omegan^2 = A,(s+omegan)^2 + B,s,(s+omegan) + C,s :

Passo 4

Para achar K,omegan^2 = A,(omegan)^2 ;Longrightarrow; A = K , podemos usar “sacos de alicate” (colocar valores especiais) ou comparar coeficientes:
  1. Tomando K,omegan^2 = C,(-omegan) ;Longrightarrow; C = -K,omegan :
A + B = 0 ;Longrightarrow; B = -A = -K
  1. Tomando :
  1. Para , usamos coeficiente de . No lado direito, o termo em é . Como o lado esquerdo não tem ,

Passo 5

Então a expansão ficou
Y(s) = Ks ;-; Ks+omegan ;-; K,omegan(s+omegan)^2
Agora inverter Laplace usando tabelinha básica:
  • y(t) = Kcdot 1 - K,e^-omegan t - K,omegan ,t,e^-omegan t ,
  • ,
  • .
Logo
Basta reorganizar.

Resposta

boxed y(t) = Kl[1 - e^-omegan t(omegan t + 1)r],

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