Um sólido granular insolúvel é seco em uma forma de
profundidade
. O material está isolado nas laterais e no fundo. A taxa de transferência de calor ocorre por convecção de uma corrente de ar escoando em paralelo à superfície com uma velocidade de
. O ar encontra-se à
e possui umidade de
sólido seco. Estimar a taxa de secagem.
Dado:
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que é pedido.
-
Dados do sistema (peguei todos do enunciado):
- Dimensões da forma:
. - Profundidade do leito de material:
. - Material: sólido granular insolúvel (laterais e fundo isolados).
- Ar escoando paralelo à superfície com velocidade
. - Temperatura do ar (bulbo seco):
. - Umidade do ar (razão de mistura ou dado do problema):
. - Calor latente de vaporização fornecido:
.
- Dimensões da forma:
-
O que o enunciado pede:
- Estimar a taxa de secagem (ou seja, a massa de água evaporada por unidade de tempo), geralmente em
(podemos também apresentar para dar noção intuitiva).
- Estimar a taxa de secagem (ou seja, a massa de água evaporada por unidade de tempo), geralmente em
Observações relevantes (extraídas dos dados, sem resolver ainda):
- A transferência de calor ocorre por convecção do ar que passa sobre a superfície superior do leito. Como as laterais e o fundo estão isolados, toda a troca de calor útil para vaporização vem pela superfície superior.
- Será necessário estimar o coeficiente convectivo de calor
para a situação de escoamento paralelo sobre uma placa (usando correlações). Também será necessário conhecer a temperatura da superfície molhada (aproximadamente a temperatura de bulbo úmido), porque a diferença de temperatura entre o ar e essa superfície determina a energia disponível para evaporação. - Estratégia que vou usar (não resolver ainda): calcular
com correlação de convecção forçada sobre placa, determinar a temperatura de bulbo úmido a partir de e , e aplicar balanço de energia: potência convectiva disponível é usada para vaporização; daí .
Passo 2
Calcular área da superfície superior e volume do leito (para informação; a taxa se relaciona à área).
- Área da superfície superior:
- Volume do leito (não será necessário diretamente para a taxa instantânea de secagem, mas calculo para referência):
(Guardei
para os cálculos seguintes.)
Passo 3
Explicar como vamos obter a temperatura da superfície molhada (
, temperatura de bulbo úmido) — passo essencial para o balanço de energia.
-
Em secagem na taxa constante a superfície fica molhada e sua temperatura fica próxima à temperatura de bulbo úmido do ar que passa (
). Precisamos determinar a partir de e . -
Relação útil (equilíbrio energético na adiabatic saturation / definição prática do bulbo úmido):
onde
-
é a razão de mistura do ar saturado à temperatura : . -
é pressão de saturação do vapor d’água a . -
é o calor específico do ar (por unidade de massa de ar seco), tomo . -
tomo . -
Procedimento prático: calcular a pressão parcial de vapor no ar a partir de
, depois buscar que satisfaça a equação acima. Vou fazer isso numericamente/iterativamente com aproximações usuais.
Cálculo da pressão parcial de vapor no ar ambiente (a partir de
):
Substituindo
e
:
- Agora precisamos de uma relação para
. Vou usar a forma de Antoine (prática e suficientemente precisa aqui):
Converto para
com
.
-
Faço tentativa para achar
. Testando algumas temperaturas e usando a relação de equilíbrio energética (mostro os passos importantes, sem pular contas): -
Tentar
: -
(valor tabelado/Antoine). -
. - O lado direito da equação energética é
- Como
é um pouco maior que , o procurado é ligeiramente menor que .
-
-
Tentar
: -
. -
- Lado direito energético:
- Agora
é muito próximo de . Isso indica .
-
-
Conclusão deste passo:
(Esse valor é físico e razoável: ar seco e quente tem bulbo úmido bem mais baixo que o bulbo seco.)
Passo 4
Determinar o coeficiente de transferência de calor convectivo
usando correlações para escoamento paralelo sobre uma placa plana.
- Para convecção forçada sobre placa plana, usamos a dimensão característica
como o comprimento na direção do escoamento; aqui tomo (tamanho da forma no sentido do escoamento). Propriedades do ar devem ser avaliadas à temperatura filme:
-
Valores típicos das propriedades do ar a
(uso valores típicos tabulados; empleo aproximações razoáveis para prova): - Condutividade térmica:
. - Viscosidade cinemática:
. - Número de Prandtl:
.
- Condutividade térmica:
-
Calcular o número de Reynolds com
:
Nota: esse valor está abaixo de
, portanto o escoamento sobre a placa é majoritariamente laminar (usar correlação laminar para Nu médio).
- Para escoamento laminar sobre placa, o Nusselt médio pode ser estimado por:
Calculemos passo a passo:
- Finalmente, o coeficiente convectivo de calor:
(Comentário prático: valores de
entre
e
são comuns para escoamentos de ar moderados; nosso valor está coerente.)
Passo 5
Aplicar o balanço de energia para converter a taxa de calor convectivo disponível em taxa de evaporação de água.
- A premissa: o calor convectivo que chega à superfície molhada é usado predominantemente para a vaporização (fase de taxa constante); portanto:
Esse calor alimenta a vaporização:
onde
é a massa de água evaporada por unidade de tempo (kg/s).
- Então:
- Substituindo números (todos em unidades SI):
Calcule
primeiro:
Agora
:
- Para dar uma noção prática também converto para
:
Passo 6
Comentários sobre consistência e aproximações (importante para a prova e para entender limites da resposta).
-
A estimativa assumiu:
- Superfície molhada com temperatura igual ao bulbo úmido (
). Isso é a hipótese padrão para a etapa de taxa constante de secagem. - Todas as trocas de calor para a superfície são usadas para vaporização (sem perdas e sem aquecer o material significativamente); isto é aceitável enquanto a secagem estiver na fase de taxa constante.
- Propriedades do ar (
) usadas como valores típicos em ; pequenas variações nessas propriedades mudariam ligeiramente , mas não a ordem de grandeza. - Usei correlação para placa plana e comprimento
. Se o escoamento efetivo visse uma dimensão diferente, mudaria um pouco.
- Superfície molhada com temperatura igual ao bulbo úmido (
-
Se em vez do método energético usar-se diretamente transferência de massa com coeficiente
(obtido por analogia de Chilton–Colburn), chegaria-se a um valor comparável (mesma ordem de grandeza). Pequenas diferenças surgem por escolhas de propriedades físicas e aproximações numéricas.