Um sólido granular insolúvel é seco em uma forma de 0,457 \times 0,457 \mathrm{~m} \mathrm{e} profundidade 25,4 \mathrm{~mm}. O material está isolado nas laterais e no fundo. A taxa de transferência de calor ocorre por convecção de uma corrente de ar escoando em paralelo à superfície com uma velocidade de 6,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O ar encontra-se à 65,6^{\circ} \mathrm{C} e possui umidade de 0,010 \mathrm{kgH}_{2} \mathrm{O} / \mathrm{kg} sólido seco. Estimar a taxa de secagem.
Dado: \lambda_{b u}=2433 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que é pedido.
  • Dados do sistema (peguei todos do enunciado):
    • Dimensões da forma: 0,457\times0,457\\ \mathrm{m}.
    • Profundidade do leito de material: 25{,}4\\ \mathrm{mm}=0{,}0254\\ \mathrm{m}.
    • Material: sólido granular insolúvel (laterais e fundo isolados).
    • Ar escoando paralelo à superfície com velocidade 6{,}1\\ \mathrm{m/s}.
    • Temperatura do ar (bulbo seco): T_{\infty}=65{,}6^\circ\mathrm{C}.
    • Umidade do ar (razão de mistura ou dado do problema): w_{\infty}=0{,}010\\ \mathrm{kg\\ H_2O/kg\\ ar\\ seco}.
    • Calor latente de vaporização fornecido: \lambda_{bu}=2433\\ \mathrm{kJ/kg}=2{,}433\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}.
  • O que o enunciado pede:
    • Estimar a taxa de secagem (ou seja, a massa de água evaporada por unidade de tempo), geralmente em \mathrm{kg/s} (podemos também apresentar \mathrm{kg/h} para dar noção intuitiva).
Observações relevantes (extraídas dos dados, sem resolver ainda):
  • A transferência de calor ocorre por convecção do ar que passa sobre a superfície superior do leito. Como as laterais e o fundo estão isolados, toda a troca de calor útil para vaporização vem pela superfície superior.
  • Será necessário estimar o coeficiente convectivo de calor h para a situação de escoamento paralelo sobre uma placa (usando correlações). Também será necessário conhecer a temperatura da superfície molhada (aproximadamente a temperatura de bulbo úmido), porque a diferença de temperatura entre o ar e essa superfície determina a energia disponível para evaporação.
  • Estratégia que vou usar (não resolver ainda): calcular h com correlação de convecção forçada sobre placa, determinar a temperatura de bulbo úmido T_{wb} a partir de w_{\infty} e T_{\infty}, e aplicar balanço de energia: potência convectiva disponível q=hA(T_{\infty}-T_{wb}) é usada para vaporização; daí \dot{m}=q/\lambda_{bu}.

Passo 2

Calcular área da superfície superior e volume do leito (para informação; a taxa se relaciona à área).
  • Área da superfície superior:
A = 0{,}457\cdot 0{,}457 = 0{,}208849\\ \mathrm{m^2}.
  • Volume do leito (não será necessário diretamente para a taxa instantânea de secagem, mas calculo para referência):
V = A\cdot\text{profundidade} = 0{,}208849\cdot 0{,}0254 \approx 0{,}005305\\ \mathrm{m^3}.
(Guardei A=0{,}20885\\ \mathrm{m^2} para os cálculos seguintes.)

Passo 3

Explicar como vamos obter a temperatura da superfície molhada ( T_{wb}, temperatura de bulbo úmido) — passo essencial para o balanço de energia.
  • Em secagem na taxa constante a superfície fica molhada e sua temperatura fica próxima à temperatura de bulbo úmido do ar que passa ( T_{wb}). Precisamos determinar T_{wb} a partir de T_{\infty} e w_{\infty}.
  • Relação útil (equilíbrio energético na adiabatic saturation / definição prática do bulbo úmido):
w_s(T_{wb}) \;=\; w_{\infty} \;+\; \frac{c_{p,a}\,(T_{\infty}-T_{wb})}{\lambda_{bu}},
onde
  • w_s(T) é a razão de mistura do ar saturado à temperatura T: \displaystyle w_s(T)=\frac{0{,}622\,p_{vs}(T)}{p_{atm}-p_{vs}(T)}.
  • p_{vs}(T) é pressão de saturação do vapor d’água a T.
  • c_{p,a} é o calor específico do ar (por unidade de massa de ar seco), tomo c_{p,a}=1005\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}.
  • p_{atm} tomo =101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
  • Procedimento prático: calcular a pressão parcial de vapor no ar a partir de w_{\infty}, depois buscar T_{wb} que satisfaça a equação acima. Vou fazer isso numericamente/iterativamente com aproximações usuais.
Cálculo da pressão parcial de vapor no ar ambiente (a partir de w_{\infty}):
p_{v,\infty} \;=\; \frac{w_{\infty}\,p_{atm}}{0{,}622 + w_{\infty}}.
Substituindo w_{\infty}=0{,}010 e p_{atm}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}:
p_{v,\infty} = \frac{0{,}010\cdot101{,}325}{0{,}622+0{,}010} = \frac{1{,}01325}{0{,}632} \approx 1{,}603\\ \mathrm{kPa}.
  • Agora precisamos de uma relação para p_{vs}(T). Vou usar a forma de Antoine (prática e suficientemente precisa aqui):
\log_{10} p_{vs}(\text{mmHg}) = 8{,}07131 - \frac{1730{,}63}{233{,}426 + T(^\circ\mathrm{C})}.
Converto para \mathrm{kPa} com 1\\ \text{mmHg}=0{,}133322\\ \mathrm{kPa}.
  • Faço tentativa para achar T_{wb}. Testando algumas temperaturas e usando a relação de equilíbrio energética (mostro os passos importantes, sem pular contas):
    • Tentar T_{wb}=30^\circ\mathrm{C}:
      • p_{vs}(30^\circ\mathrm{C})\approx 4{,}246\\ \mathrm{kPa} (valor tabelado/Antoine).
      • w_s(30)=\dfrac{0{,}622\cdot4{,}246}{101{,}325-4{,}246}\approx 0{,}0272.
      • O lado direito da equação energética é
      w_{\infty} + \frac{c_{p,a}(T_{\infty}-T_{wb})}{\lambda_{bu}} =0{,}010 + \frac{1005\cdot(65{,}6-30)}{2{,}433\times10^{6}} =0{,}010 + 0{,}000413\cdot35{,}6 \approx 0{,}010 + 0{,}0147 = 0{,}0247.
      • Como w_s(30)=0{,}0272 é um pouco maior que 0{,}0247, o T_{wb} procurado é ligeiramente menor que 30^\circ\mathrm{C}.
    • Tentar T_{wb}=29^\circ\mathrm{C}:
      • p_{vs}(29^\circ\mathrm{C})\approx 3{,}998\\ \mathrm{kPa}.
      • w_s(29)=\dfrac{0{,}622\cdot3{,}998}{101{,}325-3{,}998}\approx 0{,}0256.
      • Lado direito energético:
      0{,}010 + 0{,}000413\cdot(65{,}6-29)=0{,}010 + 0{,}000413\cdot36{,}6 \approx 0{,}010 + 0{,}0151 = 0{,}0251.
      • Agora w_s(29)=0{,}0256 é muito próximo de 0{,}0251. Isso indica T_{wb}\approx 29^\circ\mathrm{C}.
Conclusão deste passo:
T_{wb}\approx 29{,}0^\circ\mathrm{C}.
(Esse valor é físico e razoável: ar seco e quente tem bulbo úmido bem mais baixo que o bulbo seco.)

Passo 4

Determinar o coeficiente de transferência de calor convectivo h usando correlações para escoamento paralelo sobre uma placa plana.
  • Para convecção forçada sobre placa plana, usamos a dimensão característica L como o comprimento na direção do escoamento; aqui tomo L=0{,}457\\ \mathrm{m} (tamanho da forma no sentido do escoamento). Propriedades do ar devem ser avaliadas à temperatura filme:
T_f = \frac{T_{\infty}+T_{wb}}{2} = \frac{65{,}6+29}{2}\approx 47{,}3^\circ\mathrm{C}.
  • Valores típicos das propriedades do ar a T_f (uso valores típicos tabulados; empleo aproximações razoáveis para prova):
    • Condutividade térmica: k\approx 0{,}027\\ \mathrm{W/(m\\ K)}.
    • Viscosidade cinemática: \nu\approx 2{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
    • Número de Prandtl: \mathrm{Pr}\approx 0{,}71.
  • Calcular o número de Reynolds com U_{\infty}=6{,}1\\ \mathrm{m/s}:
\mathrm{Re}_L=\frac{U_{\infty} L}{\nu} = \frac{6{,}1\cdot 0{,}457}{2{,}2\times10^{-5}} \approx \frac{2{,}7877}{2{,}2\times10^{-5}} \approx 1{,}27\times10^{5}.
Nota: esse valor está abaixo de 5\times10^{5}, portanto o escoamento sobre a placa é majoritariamente laminar (usar correlação laminar para Nu médio).
  • Para escoamento laminar sobre placa, o Nusselt médio pode ser estimado por:
\mathrm{Nu}_L = 0{,}664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Calculemos passo a passo:
\mathrm{Re}_L^{1/2}\approx\sqrt{1{,}27\times10^{5}}\approx 356{,}0, \qquad \mathrm{Pr}^{1/3}\approx 0{,}71^{1/3}\approx 0{,}89.
\mathrm{Nu}_L \approx 0{,}664\cdot 356{,}0\cdot 0{,}89 \approx 210{,}4.
  • Finalmente, o coeficiente convectivo de calor:
h = \frac{\mathrm{Nu}_L\,k}{L} = \frac{210{,}4\cdot 0{,}027}{0{,}457} \approx \frac{5{,}6808}{0{,}457} \approx 12{,}43\\ \mathrm{W/(m^2\\ K)}.
(Comentário prático: valores de h entre 10 e 25\\ \mathrm{W/(m^2K)} são comuns para escoamentos de ar moderados; nosso valor está coerente.)

Passo 5

Aplicar o balanço de energia para converter a taxa de calor convectivo disponível em taxa de evaporação de água.
  • A premissa: o calor convectivo que chega à superfície molhada é usado predominantemente para a vaporização (fase de taxa constante); portanto:
\dot{Q} = h\,A\,(T_{\infty}-T_{wb}).
Esse calor alimenta a vaporização:
\dot{Q} = \lambda_{bu}\,\dot{m},
onde \dot{m} é a massa de água evaporada por unidade de tempo (kg/s).
  • Então:
\dot{m} = \frac{h\,A\,(T_{\infty}-T_{wb})}{\lambda_{bu}}.
  • Substituindo números (todos em unidades SI):
h=12{,}43\\ \mathrm{W/(m^2K)},\quad A=0{,}208849\\ \mathrm{m^2},\quad T_{\infty}-T_{wb}=65{,}6-29=36{,}6\\ \mathrm{K},
\lambda_{bu}=2{,}433\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}.
Calcule \dot{Q} primeiro:
\dot{Q} = 12{,}43\cdot 0{,}208849\cdot 36{,}6 \approx 95{,}0\\ \mathrm{W}.
Agora \dot{m}:
\dot{m} = \frac{95{,}0}{2{,}433\times10^{6}} \approx 3{,}905\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/s}.
  • Para dar uma noção prática também converto para \mathrm{kg/h}:
\dot{m}\\ ( \mathrm{kg/h}) = 3{,}905\times10^{-5}\cdot 3600 \approx 0{,}141\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 6

Comentários sobre consistência e aproximações (importante para a prova e para entender limites da resposta).
  • A estimativa assumiu:
    • Superfície molhada com temperatura igual ao bulbo úmido ( T_{wb}\approx29^\circ\mathrm{C}). Isso é a hipótese padrão para a etapa de taxa constante de secagem.
    • Todas as trocas de calor para a superfície são usadas para vaporização (sem perdas e sem aquecer o material significativamente); isto é aceitável enquanto a secagem estiver na fase de taxa constante.
    • Propriedades do ar ( k,\nu,\mathrm{Pr} ) usadas como valores típicos em T_f; pequenas variações nessas propriedades mudariam ligeiramente h, mas não a ordem de grandeza.
    • Usei correlação para placa plana e comprimento L=0{,}457\\ \mathrm{m}. Se o escoamento efetivo visse uma dimensão diferente, h mudaria um pouco.
  • Se em vez do método energético usar-se diretamente transferência de massa com coeficiente k_c (obtido por analogia de Chilton–Colburn), chegaria-se a um valor comparável (mesma ordem de grandeza). Pequenas diferenças surgem por escolhas de propriedades físicas e aproximações numéricas.

Resposta

\dot{m}\approx 3{,}91\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/s}
\dot{m}\approx 0{,}141\\ \mathrm{kg/h}

Exercícios relacionados