1. Um sólido ocupa uma região E com superfície S e é imerso num líquido com uma densidade constante \rho. Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que o plano x y coincida com a superfície do líquido e valores positivos de z sejam medidos para baixo, adentrando o líquido. Então, a pressão na profundidade z é p=\rho g z, onde g é a aceleração da gravidade (veja a Seção 6.5, no Volume I). A força de empuxo total sobre o sólido devida à distribuição de pressão é dada pela integral de superfície
\mathbf{F}=-\iint_{S} p \mathbf{n} d S
onde \mathbf{n} é o vetor normal unitário apontando para fora. Use o resultado do Exercício 31 para mostrar que \mathbf{F}=-W \mathbf{k}, onde W é o peso do líquido deslocado pelo sólido. (Observe que \mathbf{F} é dirigida para cima porque z é dirigida para baixo.) O resultado é o Princípio de Arquimedes: A força de empuxo sobre um objeto é igual ao peso do líquido deslocado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a força de empuxo
\mathbf{F}=-\iint_{S}p\,\mathbf{n}\,dS
com p=\rho g z (densidade \rho constante, z medido para baixo, \mathbf{n} normal externa) resulta em
\mathbf{F}=-W\,\mathbf{k},
onde W é o peso do líquido deslocado. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência aplicado ao campo escalar \varphi(z)=z.

Passo 2

Substituindo p=\rho g z na integral de superfície, temos
\mathbf{F} =-\iint_{S}\rho g\,z\,\mathbf{n}\,dS =-\rho g\iint_{S}z\,\mathbf{n}\,dS.

Passo 3

Pelo Exercício 31 (teorema da divergência para campo escalar),
\iint_{S}z\,\mathbf{n}\,dS =\iiint_{E}\nabla z\,dV.
Como \nabla z=\mathbf{k},
\iint_{S}z\,\mathbf{n}\,dS =\iiint_{E}\mathbf{k}\,dV =\Bigl(\iiint_{E}dV\Bigr)\mathbf{k}.

Passo 4

Logo
\mathbf{F} =-\rho g\Bigl(\iiint_{E}dV\Bigr)\mathbf{k}.
Mas \iiint_{E}dV é o volume V de líquido deslocado, de modo que o peso desse líquido é
W=(\rho V)\,g=\rho gV.
Portanto
\mathbf{F}=-\rho gV\,\mathbf{k}=-W\,\mathbf{k}.

Resposta

\mathbf{F}=-W\,\mathbf{k}

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