- Um sólido ocupa uma região
com superfície
e é imerso num líquido com uma densidade constante
. Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que o plano
coincida com a superfície do líquido e valores positivos de
sejam medidos para baixo, adentrando o líquido. Então, a pressão na profundidade
é
, onde
é a aceleração da gravidade (veja a Seção 6.5, no Volume I). A força de empuxo total sobre o sólido devida à distribuição de pressão é dada pela integral de superfície
onde
é o vetor normal unitário apontando para fora. Use o resultado do Exercício 31 para mostrar que
, onde
é o peso do líquido deslocado pelo sólido. (Observe que
é dirigida para cima porque
é dirigida para baixo.) O resultado é o Princípio de Arquimedes: A força de empuxo sobre um objeto é igual ao peso do líquido deslocado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a força de empuxo
com
(densidade
constante,
medido para baixo,
normal externa) resulta em
onde
é o peso do líquido deslocado. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência aplicado ao campo escalar
.
Passo 2
Substituindo
na integral de superfície, temos
Passo 3
Pelo Exercício 31 (teorema da divergência para campo escalar),
Como
,
Passo 4
Logo
Mas
é o volume
de líquido deslocado, de modo que o peso desse líquido é
Portanto