- Um sólido ocupa uma região
com superfície
e é imerso num líquido com uma densidade constante
. Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que o plano
coincida com a superfície do líquido e valores positivos de
sejam medidos para baixo, adentrando o líquido. Então, a pressão na profundidade
é
, onde
é a aceleração da gravidade (veja a Seção 6.5, no Volume I). A força de empuxo total sobre o sólido devida à distribuição de pressão é dada pela integral de superfície
onde
é o vetor normal unitário apontando para fora. Use o resultado do Exercício 31 para mostrar que
, onde
é o peso do líquido deslocado pelo sólido. (Observe que
é dirigida para cima porque
é dirigida para baixo.) O resultado é o Princípio de Arquimedes: A força de empuxo sobre um objeto é igual ao peso do líquido deslocado.
Passo 1
O enunciado fala de um sólido na região
com superfície
, imerso num líquido de densidade constante
. Escolhemos o eixo
positivo para baixo, de modo que a pressão no líquido a profundidade
é
A força de empuxo total é
onde
. Queremos mostrar
, sendo
o peso do líquido deslocado. Para isso usamos o Teorema da Divergência (Exercício 31):
Passo 2
Separemos a força de empuxo em componentes:
Como
não depende de
nem de
, para a componente em
definimos o campo vetorial
. Então
e pelo Teorema da Divergência
Analogamente mostra-se
. Logo não há componente horizontal de
.
Passo 3
Sobrou apenas a componente vertical. Escrevemos
e aplicamos o Teorema da Divergência ao campo
:
Passo 4
Calculamos a divergência:
Portanto
Assim a força total é
Passo 5
O peso do líquido deslocado é
Logo
o que é exatamente o Princípio de Arquimedes.