1. Um sólido ocupa uma região E com superfície S e é imerso num líquido com uma densidade constante \rho. Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que o plano x y coincida com a superfície do líquido e valores positivos de z sejam medidos para baixo, adentrando o líquido. Então, a pressão na profundidade z é p=\rho g z, onde g é a aceleração da gravidade (veja a Seção 6.5, no Volume I). A força de empuxo total sobre o sólido devida à distribuição de pressão é dada pela integral de superfície
\mathbf{F}=-\iint_{S} p \mathbf{n} d S
onde \mathbf{n} é o vetor normal unitário apontando para fora. Use o resultado do Exercício 31 para mostrar que \mathbf{F}=-W \mathbf{k}, onde W é o peso do líquido deslocado pelo sólido. (Observe que \mathbf{F} é dirigida para cima porque z é dirigida para baixo.) O resultado é o Princípio de Arquimedes: A força de empuxo sobre um objeto é igual ao peso do líquido deslocado.

Passo 1

O enunciado fala de um sólido na região E com superfície S, imerso num líquido de densidade constante \rho. Escolhemos o eixo z positivo para baixo, de modo que a pressão no líquido a profundidade z é
p=\rho g z.
A força de empuxo total é
\mathbf{F}=-\iint_{S}p\,\mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n}$ é o normal unitário externo a \(E. Queremos mostrar \mathbf{F}=-W\,\mathbf{k}, sendo W o peso do líquido deslocado. Para isso usamos o Teorema da Divergência (Exercício 31):
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{E}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.)

Passo 2

Separemos a força de empuxo em componentes:
\mathbf{F} =-\Bigl(\iint_{S}p\,n_x\,dS\Bigr)\mathbf{i} -\Bigl(\iint_{S}p\,n_y\,dS\Bigr)\mathbf{j} -\Bigl(\iint_{S}p\,n_z\,dS\Bigr)\mathbf{k}.
Como p=\rho g z não depende de x nem de y, para a componente em \mathbf{i} definimos o campo vetorial \mathbf{F}_x = p\,\mathbf{i}. Então
\nabla\cdot\mathbf{F}_x = \frac{\partial p}{\partial x}=0
e pelo Teorema da Divergência
\iint_{S}p\,n_x\,dS =\iint_{S}\mathbf{F}_x\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{E}0\,dV =0.
Analogamente mostra-se \iint_{S}p\,n_y\,dS=0. Logo não há componente horizontal de \mathbf{F}.

Passo 3

Sobrou apenas a componente vertical. Escrevemos
\iint_{S}p\,n_z\,dS =\iint_{S}(p\,\mathbf{k})\cdot\mathbf{n}\,dS
e aplicamos o Teorema da Divergência ao campo \mathbf{F}_z = p\,\mathbf{k}:
\iint_{S}(p\,\mathbf{k})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{E}\nabla\cdot(p\,\mathbf{k})\,dV.

Passo 4

Calculamos a divergência:
\nabla\cdot(p\,\mathbf{k}) =\frac{\partial p}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}(\rho g z) =\rho g.
Portanto
\iint_{S}p\,n_z\,dS =\iiint_{E}\rho g\,dV =\rho g\;\mathrm{Vol}(E).
Assim a força total é
\mathbf{F} =-\bigl(0\;\mathbf{i}+0\;\mathbf{j}+\rho g\,\mathrm{Vol}(E)\,\mathbf{k}\bigr) =-\rho g\,\mathrm{Vol}(E)\,\mathbf{k}.

Passo 5

O peso do líquido deslocado é
W = \rho g\,\mathrm{Vol}(E).
Logo
\mathbf{F}=-W\,\mathbf{k},
o que é exatamente o Princípio de Arquimedes.

Resposta

\mathbf{F}=-W\,\mathbf{k}

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