Uma solução de 50,0 \mathrm{~mL} de \mathrm{NaCl} 0,100 \mathrm{M} é titulada com uma solução de \mathrm{AgNO}_{3} 0,100 \mathrm{M}. Considerando o produto de solubilidade do \mathrm{AgCl} K_{p s}=1,8 \times 10^{-10}, calcule, para os volumes de \mathrm{AgNO}_{3} indicados, as concentrações de íons \left[\mathrm{Ag}^{+}\right] \mathrm{e} [ \mathrm{Cl}^{-}]em solução, bem como os valores de pAg e pCl :
(d) 75,0 \mathrm{~mL}

Passo 1

O enunciado pede, para a titulação de 50,0\\ \mathrm{mL} de NaCl 0,100\\ \mathrm{M} com AgNO _3 0,100\\ \mathrm{M}, que eu calcule, quando forem adicionados 75,0\\ \mathrm{mL} de AgNO _3: as concentrações iônicas \left[\mathrm{Ag}^{+}\right] e \left[\mathrm{Cl}^{-}\right] em solução e os valores de pAg e pCl.
Dados fornecidos (transcrevo exatamente para não errar):
\;V_{\text{NaCl}}=50,0\\ \mathrm{mL}
\;C_{\text{NaCl}}=0,100\\ \mathrm{M}
\;V_{\text{AgNO}_3}=75,0\\ \mathrm{mL}
\;C_{\text{AgNO}_3}=0,100\\ \mathrm{M}
\;K_{ps}(\mathrm{AgCl})=1,8\times 10^{-10}
O objetivo final é dar \left[\mathrm{Ag}^{+}\right], \left[\mathrm{Cl}^{-}\right], pAg e pCl no equilíbrio após a mistura e precipitação (se houver).

Passo 2

Calcular as quantidades iniciais (moles) antes de qualquer equilíbrio/precipitação. Vou converter volumes para litros e usar n=C\cdot V.
Moles de \mathrm{Cl}^{-} (vindo de NaCl):
n_{\mathrm{Cl}^-} = 0,100\\ \mathrm{mol/L}\times 0,0500\\ \mathrm{L} = 0,00500\\ \mathrm{mol}.
Moles de \mathrm{Ag}^{+} (vindo de AgNO _3):
n_{\mathrm{Ag}^+} = 0,100\\ \mathrm{mol/L}\times 0,0750\\ \mathrm{L} = 0,00750\\ \mathrm{mol}.
Expliquei: multiplicamos concentração pelo volume em litros para obter moles — isso é direto da definição de molaridade.

Passo 3

Verificar reação entre íons e determinar o reagente limitante:
Reação de precipitação (estequiometria 1:1):
\mathrm{Ag}^{+} + \mathrm{Cl}^{-} \longrightarrow \mathrm{AgCl(s)}.
Comparamos moles: havia 0,00500\\ \mathrm{mol} de \mathrm{Cl}^{-} e 0,00750\\ \mathrm{mol} de \mathrm{Ag}^{+}. Como a estequiometria é 1:1, todo o \mathrm{Cl}^{-} será consumido (é o limitante) e sobra \mathrm{Ag}^{+}.
Moles que reagem = moles de \mathrm{Cl}^{-} = 0,00500\\ \mathrm{mol}. Moles de \mathrm{Ag}^{+} remanescentes:
n_{\mathrm{Ag}^+,\,\text{excesso}} = 0,00750 - 0,00500 = 0,00250\\ \mathrm{mol}.
Importante: como todo o \mathrm{Cl}^{-} foi consumido, forma-se AgCl(s). Como há sólido presente, no equilíbrio teremos o produto iônico regulado pelo K_{ps} de AgCl: \left[\mathrm{Ag}^{+}\right]\left[\mathrm{Cl}^{-}\right]=K_{ps}.

Passo 4

Calcular o volume total da mistura e a concentração inicial (antes de considerar a pequena dissolução do sólido) do \mathrm{Ag}^{+} que ficou em excesso:
Volume total V_{\text{total}} = 50,0\\ \mathrm{mL} + 75,0\\ \mathrm{mL} = 125,0\\ \mathrm{mL} = 0,1250\\ \mathrm{L}.
Concentração do \mathrm{Ag}^{+} devido ao excesso (se todo o excesso estivesse livre):
\left[\mathrm{Ag}^{+}\right]_{\text{inicial}}=\frac{0,00250\\ \mathrm{mol}}{0,1250\\ \mathrm{L}}=0,02000\\ \mathrm{M}.
Observação: imediatamente após a precipitação este valor é a concentração prática de \mathrm{Ag}^{+} livre; porém, estando presente AgCl(s), haverá equilíbrio heterogêneo com uma pequena dissolução de AgCl que ajusta \left[\mathrm{Cl}^{-}\right] e pode alterar \left[\mathrm{Ag}^{+}\right] numa quantidade muito pequena. Precisamos tratar esse equilíbrio com K_{ps}.

Passo 5

Escrever a condição de equilíbrio com K_{ps}. Para AgCl:
K_{ps}=\left[\mathrm{Ag}^{+}\right]\left[\mathrm{Cl}^{-}\right]=1,8\times 10^{-10}.
Vou chamar de x a concentração de \mathrm{Cl}^{-} resultante da dissolução de uma pequena porção de AgCl(s). No equilíbrio, como havia praticamente zero \mathrm{Cl}^{-} livre após a reação completa, teremos \left[\mathrm{Cl}^{-}\right]=x. A \left[\mathrm{Ag}^{+}\right] será aproximadamente 0,02000 + x, porque a dissolução de AgCl aumenta \left[\mathrm{Ag}^{+}\right] em x. Então, exatamente:
(0,02000 + x)\cdot x = 1,8\times 10^{-10}.

Passo 6

Fazer a aproximação válida: normalmente x será muito pequeno comparado com 0,02000. Vamos verificar fazendo a aproximação (0,02000 + x)\approx 0,02000. Assim:
x \approx \frac{1,8\times 10^{-10}}{0,02000}.
Calculemos numericamente:
x \approx \frac{1,8\times 10^{-10}}{2,00\times 10^{-2}} = 9,0\times 10^{-9}\\ \mathrm{M}.
Verificação da hipótese: x/(0,02000)=9{,}0\times 10^{-9}/2{,}00\times 10^{-2}=4{,}5\times 10^{-7}, ou seja, x é desprezivelmente pequeno frente a 0,02000. Portanto a aproximação é perfeitamente válida e não precisamos resolver a equação quadrática completa.
Portanto no equilíbrio:
\left[\mathrm{Cl}^{-}\right]=x=9,0\times 10^{-9}\\ \mathrm{M},
\left[\mathrm{Ag}^{+}\right]\approx 0,02000\\ \mathrm{M}.
(Se quisermos ser estritos, \left[\mathrm{Ag}^{+}\right]=0,02000+9{,}0\times 10^{-9}\approx 0,02000\\ \mathrm{M}.)

Passo 7

Calcular pAg e pCl. Definição: para qualquer íon X, \mathrm{p}X=-\log_{10}\left([X]\right). Vou usar decomposição logarítmica para facilitar cálculo sem calculadora complicada:
Para \left[\mathrm{Ag}^{+}\right]=0,02000=2{,}00\times 10^{-2}:
\log_{10}(2{,}00\times 10^{-2})=\log_{10}(2{,}00)+\log_{10}(10^{-2})=0{,}3010-2=-1{,}6990,
então
\mathrm{pAg}=-\log_{10}\left(0,02000\right)=1{,}699\\ (\text{arredondando para três casas significativas}).ê
Para \left[\mathrm{Cl}^{-}\right]=9{,}0\times 10^{-9}:
\log_{10}(9{,}0\times 10^{-9})=\log_{10}(9{,}0)+\log_{10}(10^{-9})=0{,}95424-9=-8{,}04576,
então
\mathrm{pCl}=-\log_{10}\left(9{,}0\times 10^{-9}\right)=8{,}046\\ (\text{arredondando adequadamente}).
Expliquei: usei \log_{10}(2)\approx 0{,}3010 e \log_{10}(9)\approx 0{,}95424; esses valores são tabelados e com eles dá pra obter os p’s sem usar calculadora complexa.

Passo 8

Organizando os resultados com algarismos significativos coerentes com os dados (três algarismos significativos nas concentrações iniciais e no volume):
\left[\mathrm{Ag}^{+}\right]=0,02000\\ \mathrm{M} (três algarismos significativos: 2,00\times 10^{-2}),
\left[\mathrm{Cl}^{-}\right]=9,0\times 10^{-9}\\ \mathrm{M} (duas algarismos significativos dado que K_{ps} tem duas),
\mathrm{pAg}=1{,}699,
\mathrm{pCl}=8{,}046.

Resposta

\left[\mathrm{Ag}^{+}\right]=0,02000\\ \mathrm{M}
\left[\mathrm{Cl}^{-}\right]=9{,}0\times 10^{-9}\\ \mathrm{M}
\mathrm{pAg}=1{,}699
\mathrm{pCl}=8{,}046

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