Uma solução contendo material coloidal orgânico deve ser concentrada de 10% a 40% (em massa) em um evaporador de tubos longos. A solução alimentada tem temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Dispõe-se de vapor d’água saturado a 101,3 \mathrm{kPa} abs, e a pressão no espaço de evaporação é de 15 kPa abs. O evaporador deve evaporar 20000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de água. Sabe-se que o coeficiente global de transferência de calor é de 1500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. O calor específico da solução é de 4,0 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} e pode ser considerado constante, e a EPE é desprezível. Calcular a área de transferência de calor requerida e o consumo de vapor em kg/s. (2,0)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a área de troca térmica requerida do evaporador e o consumo de vapor (em \mathrm{kg/s}).
Dados fornecidos (vou listar explicitamente tudo que vamos usar):
\begin{aligned} &\text{concentração inicial (massa)}\; x_i = 10\% = 0{,}10,\\\ &\text{concentração final (massa)}\; x_f = 40\% = 0{,}40,\\\ &\text{vapor saturado disponível a }101{,}3\\ \mathrm{kPa}\\ (\Rightarrow T_s \approx 100^\circ\mathrm{C}),\\\ &\text{pressão de evaporação } = 15\\ \mathrm{kPa\\ abs},\\\ &\text{temperatura de alimentação } T_{in} = 20^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{vapor a ser evaporado } \dot{m}_e = 20000\\ \mathrm{kg/h},\\\ &U = 1500\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)},\\\ &c_p = 4{,}0\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 4000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\\\ &\text{EPE desprezível.} \end{aligned}çãçãíãçãçãí
Observação: vou converter vazões para \mathrm{kg/s} quando necessário e usar tabelas/Antoine para achar a temperatura de ebulição à pressão dada. A partir desses dados calcularemos o balanço de massa (para obter vazões de alimentação e produto), o balanço energético (calor sensível + calor latente) e então a área usando LMTD. No final calculo o consumo de vapor em \mathrm{kg/s}.

Passo 2

Encontrar a temperatura de saturação da água à pressão de evaporação 15\\ \mathrm{kPa} (temperatura de ebulição da solução). Uso a equação de Antoine (procedimento padrão para obter T_{sat}) e cálculo aproximado mostrado a seguir:
Converter 15\\ \mathrm{kPa} para \mathrm{mmHg}:
P_{\mathrm{mmHg}} = 15\cdot\frac{760}{101{,}325} \approx 112{,}47\\ \mathrm{mmHg}.
Usando Antoine e resolvendo para T obtemos (cálculo direto):
T_b \approx 54{,}03^\circ\mathrm{C}.
Portanto a temperatura de ebulição da solução no evaporador é aproximadamente \;T_b = 54{,}03^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Balanço de massa para achar vazões de alimentação ( \dot{m}_F) e produto ( \dot{m}_P). Denoto sólidos (matéria orgânica coloidal) por S.
Sólidos na alimentação:
S = x_i \dot{m}_F.
Sólidos no produto:
S = x_f \dot{m}_P = x_f(\dot{m}_F - \dot{m}_e).
Igualando:
x_i\dot{m}_F = x_f(\dot{m}_F - \dot{m}_e).
Isolando \dot{m}_F:
x_i\dot{m}_F = x_f\dot{m}_F - x_f\dot{m}_e \\\ \Rightarrow (x_f - x_i)\dot{m}_F = x_f\dot{m}_e \\\ \Rightarrow \dot{m}_F = \frac{x_f}{x_f - x_i}\,\dot{m}_e.
Substituindo x_i=0{,}10,\;x_f=0{,}40 e \dot{m}_e=20000\\ \mathrm{kg/h}:
\dot{m}_F = \frac{0{,}40}{0{,}40-0{,}10}\cdot 20000 = \frac{0{,}40}{0{,}30}\cdot20000 = \tfrac{4}{3}\cdot20000 = 26666{,}667\\ \mathrm{kg/h}.
Produto:
\dot{m}_P = \dot{m}_F - \dot{m}_e = 26666{,}667 - 20000 = 6666{,}667\\ \mathrm{kg/h}.
Converter para \mathrm{kg/s}:
\dot{m}_e = \frac{20000}{3600} = 5{,}5556\\ \mathrm{kg/s},\qquad \dot{m}_F = \frac{26666{,}667}{3600} = 7{,}4074\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Balanço de energia: a potência térmica necessária \dot{Q} é a soma do calor sensível para aquecer a alimentação de 20^\circ\mathrm{C} até T_b e do calor latente para evaporar \dot{m}_e.
  1. Calor sensível:
\Delta T = T_b - T_{in} = 54{,}03 - 20 = 34{,}03\\ \mathrm{K}.
\dot{Q}_{sens} = \dot{m}_F\; c_p\; \Delta T
Com \dot{m}_F = 7{,}4074\\ \mathrm{kg/s} e c_p = 4000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}:
\dot{Q}_{sens} = 7{,}4074\cdot 4000 \cdot 34{,}03 \approx 1{,}008{,}294\\ \mathrm{W}.
  1. Calor latente para evaporação: preciso de \lambda (calor latente à T_b). Uso uma expressão aproximada (prática comum):
\lambda(T)\approx 2501 - 2{,}37\,T\quad\text{(kJ/kg, \(T\) em }^\circ\mathrm{C}).
Aplicando T_b=54{,}03^\circ\mathrm{C}:
\lambda_b \approx 2501 - 2{,}37\cdot 54{,}03 \approx 2372{,}90\\ \mathrm{kJ/kg} = 2{,}372{,}900\\ \mathrm{J/kg}.
Logo
\dot{Q}_{lat} = \dot{m}_e\;\lambda_b = 5{,}5556\cdot 2{,}372{,}900 \approx 13{,}182{,}778\\ \mathrm{W}.
Total:
\dot{Q} = \dot{Q}_{sens} + \dot{Q}_{lat} \approx 1{,}008{,}294 + 13{,}182{,}778 = 14{,}191{,}072\\ \mathrm{W}\\ (\approx 14{,}19\\ \mathrm{MW}).

Passo 5

Cálculo do LMTD (log mean temperature difference). O vapor condensa a temperatura praticamente constante T_s \approx 100^\circ\mathrm{C}. A alimentação entra a 20^\circ\mathrm{C} e sai a T_b = 54{,}03^\circ\mathrm{C}. Assim as diferenças de temperatura nas extremidades são:
\Delta T_1 = T_s - T_{in} = 100 - 20 = 80^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_s - T_b = 100 - 54{,}03 = 45{,}97^\circ\mathrm{C}.
A LMTD é
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)} = \frac{80 - 45{,}97}{\ln\!\left(\dfrac{80}{45{,}97}\right)} \approx 61{,}48^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Cálculo da área de troca térmica usando a relação \dot{Q} = U\; A\; \Delta T_{lm}, logo
A = \frac{\dot{Q}}{U\;\Delta T_{lm}}.
Substituindo \dot{Q}=14{,}191{,}072\\ \mathrm{W}, U=1500\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} e \Delta T_{lm}=61{,}48\\ \mathrm{K}:
A = \frac{14{,}191{,}072}{1500\cdot 61{,}48} \approx \frac{14{,}191{,}072}{92{,}220} \approx 153{,}9\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando razoavelmente: \;A \approx 154\\ \mathrm{m^2}.

Passo 7

Consumo de vapor em \mathrm{kg/s}. A energia fornecida pelo vapor condensado (assumindo condensação a 100^\circ\mathrm{C}) é dada pela entalpia de condensação a 100^\circ\mathrm{C}, \lambda_{100}\approx 2257\\ \mathrm{kJ/kg} = 2{,}257{,}000\\ \mathrm{J/kg}. Assim:
\dot{m}_{vapor} = \frac{\dot{Q}}{\lambda_{100}} = \frac{14{,}191{,}072}{2{,}257{,}000} \approx 6{,}288\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando: \dot{m}_{vapor} \approx 6{,}29\\ \mathrm{kg/s}.

Resposta

A \approx 154\\ \mathrm{m^{2}}
\dot{m}_{vapor} \approx 6{,}29\\ \mathrm{kg/s}

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