Um experimento de fluidização foi realizado em laboratório utilizando ar e partículas esféricas de vidro, na faixa de 38-150 \mu \mathrm{~m}, densidade 2,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e massa de total de 267 g . Os dados de vazão volumétrica e perda de carga obtidos estão apresentados na tabela abaixo. Os dados do leito são: Diâmetro 3,2 \mathrm{~cm}, área 8,04 \mathrm{~cm}^{2} e altura mínima de fluidização 26 cm . Obtenha os parâmetros de porosidade e perda de carga na condição de mínima fluidização.
\mathrm{Q}\left(\mathrm{cm}^{3} / \mathrm{min}\right) \Delta \mathrm{P}\left(\mathrm{cmH}_{2} \mathrm{O}\right)
2860 36
2370 35,5
1900 35
1440 35
1010 34,5
600 34
370 32,5
315 32
260 28,5
206 25,5
154 19,2
104 13,5

Passo 1

O que o enunciado pede: obter a porosidade do leito e a perda de carga ( \Delta P) na condição de mínima fluidização.
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado, já preparados para usar):
\begin{aligned} &\text{massa de sólidos: } m = 267\\ \mathrm{g} \\\ &\text{densidade das partículas: } \rho_p = 2,6\\ \mathrm{g/cm^3} \\\ &\text{diâmetro do reator: } D = 3,2\\ \mathrm{cm} \\\ &\text{área do leito: } A = 8,04\\ \mathrm{cm^2} \\\ &\text{altura mínima de fluidização: } H_{mf} = 26\\ \mathrm{cm} \\\ &\text{tabela de vazão (Q) e queda de pressão (\(\Delta P\)) em cmH\(_2\)O:} \end{aligned}óíâáíçããã
Os valores da tabela foram tomados do enunciado (não vou repetir toda a tabela aqui para não poluir, mas usei os dados fornecidos).
Observações importantes (informações que vou assumir):
  • A densidade do ar não foi fornecida; tomo \rho_f = 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3} (valor padrão a condições ambientes). Se você tiver outro valor, a conta muda muito pouco.
  • Vou trabalhar em unidades SI (metros, kg, Pa) durante os cálculos e no final converto \Delta P para \mathrm{cmH_2O} para comparar com a tabela.

Passo 2

Entendendo e definindo porosidade: porosidade \varepsilon é a fração do volume do leito ocupado pelo fluido (espaço vazio). Se o volume total do leito é V_{tot}=A H e o volume ocupado por sólidos é V_s, então
\varepsilon = 1 - \frac{V_s}{V_{tot}}.
O volume de sólidos é a massa dividida pela densidade das partículas:
V_s = \frac{m}{\rho_p}.
Portanto a fórmula prática que vamos usar é
\varepsilon = 1 - \frac{m/\rho_p}{A H_{mf}}.

Passo 3

Conversões de unidades (para operar em SI):
\begin{aligned} &m = 267\\ \mathrm{g} = 0{,}267\\ \mathrm{kg},\\\ &\rho_p = 2{,}6\\ \mathrm{g/cm^3} = 2600\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &A = 8{,}04\\ \mathrm{cm^2} = 8{,}04\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2},\\\ &H_{mf} = 26\\ \mathrm{cm} = 0{,}26\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
Agora aplico a fórmula da porosidade:
\begin{aligned} V_s &= \frac{m}{\rho_p} = \frac{0{,}267}{2600} = 1{,}02692\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3},\\\ V_{tot} &= A H_{mf} = 8{,}04\times 10^{-4}\times 0{,}26 = 2{,}0904\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3},\\\ \varepsilon &= 1 - \frac{1{,}02692\times 10^{-4}}{2{,}0904\times 10^{-4}} = 1 - 0{,}491109\ldots = 0{,}508891\ldots \end{aligned}
Arredondando com sensatez, obtenho
\varepsilon \approx 0{,}509.
Explicação didática rápida: a porosidade alta aqui ( \approx 0{,}51) significa que cerca de metade do volume do leito é espaço vazio ocupado pelo ar — faz sentido para partículas pequenas e leito relativamente frouxo na condição de mínima fluidização.

Passo 4

Agora vamos achar a perda de carga na condição de mínima fluidização. Física por trás: no ponto de mínima fluidização a força ascendente do fluido (diferença de pressão multiplicada pela área) equilibra o peso aparente das partículas (peso menos empuxo). A equação de equilíbrio por unidade de área é
\Delta P_{mf} = (1-\varepsilon)\,(\rho_p-\rho_f)\,g\,H_{mf}.
Derivação curta: massa de sólidos por volume total = \rho_p(1-\varepsilon). Peso aparente por volume total = (\rho_p-\rho_f)g(1-\varepsilon). Multiplicando por H_{mf} dá a pressão.
Substituo valores (com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e \rho_f=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}):
\begin{aligned} 1-\varepsilon &= 0{,}491109\ldots,\\\ \rho_p-\rho_f &= 2600 - 1{,}2 = 2598{,}8\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ \Delta P_{mf} &= 0{,}491109\times 2598{,}8 \times 9{,}81 \times 0{,}26 \\\ &= 3{,}256{,}33\\ \mathrm{Pa}\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}

Passo 5

Converter \Delta P_{mf} para \mathrm{cmH_2O}. A relação é
1\\ \mathrm{cmH_2O} = 98{,}0665\\ \mathrm{Pa}.
Logo
\Delta P_{mf} = \frac{3{,}256{,}33}{98{,}0665} = 33{,}22\\ \mathrm{cmH_2O} \approx 33{,}2\\ \mathrm{cmH_2O}.
Observação pedagógica: uma maneira alternativa e rápida (mais direta) para achar \Delta P_{mf} é usar o simples equilíbrio peso/área sem subtrair o empuxo explicitamente:
\Delta P \approx \frac{m g}{A}.
Fazendo \frac{0{,}267\times 9{,}81}{8{,}04\times 10^{-4}} \approx 3{,}256{,}6\\ \mathrm{Pa}, que dá praticamente o mesmo resultado porque a densidade do ar é muito pequena frente à das partículas.
Comentário prático: olhando para a tabela experimental fornecida, a queda de pressão observada fica em torno de 32\!-\!36\\ \mathrm{cmH_2O} na região em que o leito está fluidizado, então o valor calculado ( \approx 33{,}2\\ \mathrm{cmH_2O}) é consistente com os dados experimentais — bom sinal.

Resposta

\varepsilon = 0{,}509
\Delta P_{mf} = 33{,}2\\ \mathrm{cmH_2O}

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