A solução da equação \frac{(n+2)!\cdot(n-2)!}{(n+1)!\cdot(n-1)!}=4 é um número natural:
a) par
b) cubo perfeito
c) maior do que 10
d) divisível por 5
e) múltiplo de 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{N} a equação
\frac{(n+2)!\,(n-2)!}{(n+1)!\,(n-1)!} = 4
e, em seguida, verificar se a solução é par, cubo perfeito, maior que 10, divisível por 5 ou múltiplo de 3. Vamos usar propriedades de fatoriais e álgebra elementar.

Passo 2

Usamos que
\frac{(n+2)!}{(n+1)!} = n+2 \quad\text{e}\quad \frac{(n-2)!}{(n-1)!} = \frac{1}{n-1},
portanto a expressão original simplifica para
\frac{n+2}{n-1}.
Como (n-2)! exige n-2\ge0, temos n\ge2.

Passo 3

Igualando ao valor 4 e resolvendo em \mathbb{N}, fazemos
\frac{n+2}{n-1} = 4 \quad\Longrightarrow\quad n+2 = 4n - 4 \quad\Longrightarrow\quad 3n = 6 \quad\Longrightarrow\quad n = 2.

Passo 4

Para n=2 verificamos as propriedades solicitadas:
2 é par.
2 não é cubo perfeito.
2 não é maior que 10.
2 não é divisível por 5.
2 não é múltiplo de 3.

Resposta

(a)

Exercícios relacionados